《理工科代数基础》共轭变换、规范变换

1215 作业: P,8.12.13.14.17 看书 230 2385 245 246 答疑时间:周二周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅

1 看书： 答疑时间：周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅。 1215 230 238 245 246 P P P P − − , P246 8, 12, 13, 14, 17. 作业：

§2-1共轭变换 定义6:设a,是Un(C)上的线性变换,若对 va,B∈Un(C),有(aa,B)=(a,B) 则称σ是σ的伴随变换(共轭变换) (aB=(.,B,; hermite变换是自伴随变换 设62,…,En是Un(C)的标准正交基, 设(a1,a2…,En)=(61,62,…,En)A 15℃2 ,En)=(61,E2,…,En)B 则∵(a,B)=(,a)分(OE,E1)=(E,'6) an=b,B=A,得

2 §2-1 共轭变换 . , ( ), ( , ) ( , ), 6 , ( ) , 则称 是 的伴随变换（共轭变换） 有 定义 ：设 是 上的线性变换 若对                 U C = U C n n (,) = (,)，Hermite变换是自伴随变换. B A U C n n n n n n ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) , , ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2                  ， ， 设 ， ， 设 ， 是 的标准正交基，      = =  . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ， 得 则  =  =  =  =   T j i i j i j i j a b B A             

UU=1,酉变换的共轭变换是它的逆变换 §2-2规范变换 定义7:设σ是Un(C)上的线性变换,若有 Oo三OO 则称σ是规范变换(正规变换). normal 设6,2…,En是Un(C)舶的标准正交基, (G1,E2,…,En)=(a1,E2,…,En)A 则有a(G1,62…,En)=(a,62…,En)A 由σσ*=σ'σ→>A′=A′A,称A为规范阵 命题:规范变换在标准正交基下的矩阵是规范阵

3 §2-2 规范变换 normal Un C ( ). 7 ( ) 则称 是规范变换 正规变换 定义 ：设 是 上的线性变换，若有         = A U C n n n n ( , , ) ( , , ) , , ( ) 1 2 1 2 1 2           ， ， 设 ， 是 的标准正交基，    = U U = I,酉变换的共轭变换是它的逆变换. T  命题:规范变换在标准正交基下的矩阵是规范阵. T 则有 ( 1 , 2 , ， n ) = ( 1 , 2 , ， n )A  由 AA A A,称A为规范阵 . T T  = → =     

定理8: n阶方阵可以酉相似于对角阵令A是规范阵. pO0f→设存在酉阵U,使得 UAU= ,U-=U7则 U-L A=U 1x1 AA U A A

4 n A A .   定理8 ： 阶方阵 可以酉相似于对角阵 是规范阵则 设存在酉阵 ，使得 T n U AU U U proof U =         =  − −1 1 1 , :    , , 1 1 1 1 − −           =         A =U U A U U n T n       . 1 1 1 AA U U A A T n n T =            = −     

←对A的阶数用归纳法.n=时,显然 今设A为n-1阶时充分性成立, 而当A为n阶方阵时,设AX1=X1(X1=1) 可补充X2…Xn使Un=(X1,X2…,Xn)为西阵 则有UUn=(4C A=U 0 An l×(m-1) n万TT n A7=0/4+C T IT An-1 T C Am-Ar n U ncn cC+Ar n

5 1 , . 1 , . 今设 为 阶时充分性成立 对 的阶数用归纳法 时 显然 −  = A n A n , 0 , 0 , , 0 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 − − − −  − − −         =        =      = T n n n T T n n n n n n n U C A A U U A C C A U A C U AU    则有 , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − −         + =         + = n n T n n T T T T n n n T n T n T n T U C C C A A C A A U U A C A A CC CA AA U       可补充 使 为酉阵 而当 为 阶方阵时 设 , , ( , , , ) , ( 1), 2 1 2 1 1 1 1 X Xn Un X X Xn A n AX X X  =  =  =

由A=A得:14+CC7=4→CC7=0 A,A,=CC+A, An1为规范阵由归纳假设存在n-1阶 酉阵Un1,使Un1Ann1= 10 令U=U0Un=1 则U1=/10 0 U 两个酉阵之积仍为酉阵,U为酉阵,且有

6    = + + = → = = −1 −1 −1 −1 1 1 1 1 0 , : n T n T T n n T T T T A A C C A A CC CC AA A A     由 得 两个酉阵之积仍为酉阵，U为酉阵，且有 , , . 1 2 1 1 1 1 1 1         =  − − − − − − − n n n n n n U U A U A n   酉阵 使  为规范阵 由归纳假设存在 阶 , 0 1 0 , 0 1 0 1 1 1 1 1 − − − − −        =      = n n n n U U U U 令U U 则

U-14rr_(10 UAU 10 0 U n(o U 10/410(10 0 U 0 U 0 UMAm-Um-

7             = − − − − − 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 n n n n U U AU U U AU , 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1                   = − − − Un− An Un           =      = − − − − n Un An Un     1 1 1 1 1 1 0 0

定理6:设σ是Un(C)上的规范变换,o5=2, 则a“=2 po0f:设E1,b2,…,E是U(C舶的标准正交基, O.8 152 则存在酉阵U,使得 UAU= 两边取共轭转置得 故当 UAU= A=,有= 若G2=2,则a“5=2

8 1 1 = T n U A U   −           . 6 ( ) , ,        = = 则  定理 ：设 是Un C 上的规范变换 则存在酉阵 ，使得 U 1 2 1 2 1 2 : , , ( ) ( , , ) ( , , ) n n n n proof U C A           = 设 ， 是 的标准正交基， ， ， 两边取共轭转置得 1 1 , n U AU   −     =       , , . A A            = = = = 故当 有 若 则

定理7:设σ是Un(C)上的规范变换,则σ的 属于不同特征值的特征向量相互正交. 证:设O与=2,O1=1m,元≠p (5,m)=(42,m)=(o5,m)=(,Om) =(,1)=1(2,7) 于是(2-1)(5,m)=0, 由2≠1有(,)=0 规范变换; 正交变换对称变换,酉变换厄米特变换都是 正交方阵,实对称阵,酉阵,厄米特阵都是规范阵

9 . 7 ( ) 属于不同特征值的特征向量相互正交 定理 ：设是Un C 上的规范变换，则的 ( , ) ( , ). ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , , .                         = = = = = = =   证：设 正交变换,对称变换,酉变换,厄米特变换都是 规范变换； ( , ) 0. ( )( , ) 0,  = − =         由 有 于是 正交方阵,实对称阵,酉阵,厄米特阵都是规范阵

§2-3 Hermite矩阵和 Hermite变换 定义9:若n阶方阵H=(hn)满足H=H (或hn=hn)则称H为 Hermite阵 定义8:设σ为U(C)上的线性变换,若对 a,B∈U(C)有(a,aB)=(a,B) 则称σ为 Hermite变换 定理:σ为 Hermite变换分在标准正交基下的 (,B)=(a,GB)矩阵为 termite阵 兮(0e,e1)=(e1,0e1)an=n令H=H 设(,e2…tn)=(a 92 H

10 §2-3 Hermite矩阵和Hermite变换 ( ) ( ) . T ij ij ji n H h H H h h H Hermite = = = 定义9：若 阶方阵 满足 或 则称 为 阵 ( ) ( ) ( , ) ( , ) . n n U C U C Hermite           = 定义8：设 为 上的线性变换，若对 ， 有 则称 为 变换 矩阵为 阵. 定理： 为 变换 在标准正交基下的 Hermite  Hermite  ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . T i j i j ji ij e e e e a a H H       =  =  =  = 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n 设 e e e e e e H =