《理工科代数基础》第三章 线性变换的核与值域（3.1-3.4）核与值域 Kernel and Image

作业 B1418,19,20,21,23 看书 109119 答疑时间:周二,周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅

1 看书： P P 109 119 − P174 18, 19, 20, 21, 23. 作业 答疑时间：周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅

§3线性变换的核与值域 1207 3-1核与值域 Kernel and Image 定义7:设是Vn(F)的线性变换,V中向量在o的 作用下全体象的集合称为o的值域. Imo={oalaV}=V dim Im o称为线性变换o的秩 定理5:(1)Imo是Vn(F)的子空间 ∵Imo非空;Va,B∈Imo,3,n使o5=a,on=B, 于是有a+b=o5+on=o(5+n)∈mo; ka=ko5=ok5∈mo. 2

2 §3 线性变换的核与值域 §3-1 核与值域 Kernel and Image V V Vn F V         Im ={  } = . 7 ( ) , 作用下全体象的集合称为 的值域 定义 ：设 是 的线性变换 中向量在 的 dim Im称为线性变换的秩。 : 1 Im ( ) . 定理5（） 是 的子空间  V F n Im ; , Im , , = , = , ( ) Im ; k k k Im .                           + = + = +  = =  非空 使 于是有 1207

(2)Imo=L(o1;…,n)其中81…,En是V的基 poC∷任a∈ma,∈V,使G2=a设ξ=∑a 则a=0=Σao6∈L(GE1…,OEn)∴左≤右 反之,任6∈右,有 β=>bGE=∑bE∈ma 右左∴左=右 →dim(GV)=rnk(o81, O

3 (2)Im ( , , ), , , .  = L 1  n 其中 1   n 是 V的基1 1 1 : Im , , = = ( , , ), ; n i i i n i i n i proof V a a L             = =    =  =     任 使 设 则 左 右 1 1 , , Im . n n i i i i i i b b       = =  = =     =   反之 任 右 有 右 左 左 右 dim( ) ( , , ). 1 n   V = rank   

()dim(Im o)=ranka 其中A是σ在基a1,…,en下的矩阵 dim(Imσ)=(8;…8n )的秩, 而A的列为8,…,Gen的坐标, (G6,…,on的秩=A的列秩=A的秩 定义8:设σ是Vn(F)的线性变换,所有被σ映成 零向量的向量的集合称为σ的核 Keo={∈oa=0=1(0) dim Kerσ称为线性变换σ的零度

4 , , . (3)dim(Im ) . 其中A是 在基 1 n 下的矩阵 rankA     =  ( , , ) . , , , dim(Im ) ( , , ) , 1 1 1 的秩 的列秩 的秩 而 的列为 的坐标 的秩 A A A n n n      = =      =         { 0} (0) . 8: ( ) , −1  =   = =     Ker V Vn F 零向量的向量的集合称为 的核 定义 设 是 的线性变换 所有被 映成 dim Ker称为线性变换的零度

定理:ke是Vn(F)的子空间 设G在Vn(F)的基6,…,6下的矩阵为4 a∈kera,记a的坐标为X,则(rMkA=r) O=0<>AX=0, B=a<取y=AX 设X1…,Xn为AX=0的基础解系 记a1=(E1,…,En,)X,则 Kero =l(a 1529500n- =(1,…,En)(X1 1,54-n-r Kero=(1,…,En)4

5 定理: 1 Ker 是V (F)的子空间.    n 1 2 ( ) , , ker , 0 0 V F A n n X AX            =  = 设 在 的基 下的矩阵为 ， 记 的坐标为 ，则 ， (rankA = r)   = ⎯⎯→ = Y AX 取坐标 1 , , 0 , 设 为 的基础解系 X X AX n r − = ( , , ) . Ker = 1  n nullA 1 1 2 ( , , ) ( , , , ). i n i n r X Ker L        − = = 记 则 1 1 ( , , )( , , ) =     n n r X X −

VB∈V若彐a0∈V,使a0=B, o B=do +kero ={(ao+a)a=0,c∈V,ao∈V} o是单射<Kero=0 dim( Kero)=n-ranka=n-dim Imo 例3:F上次数≤n-1的多项式F[x] σ是微分变换,任f(X)∈Fn[x,af(x)=f(x) Imo=Fn-LxI, Kero=F, dim Imotdim Kero =n dim(Imo+Kero=n-1 6

6 1 0 0 0 ker {( ) 0, , } V V          − = + = + =   dim( Ker) = n − rankA = n − dim Imσ ( ) [ ], ( ) ( ) 3 1 [ ], f X F x f x f x F n F x n n  =   − 是微分变换，任  例 ： 上次数 的多项式 1 Im [ ], ,  = =   F x Ker F n− dim Im dim dim(Im ) 1 Ker n Ker n     + = + = −   =   是单射 Ker 0. 0 0       = 3 , ,     V V 若 使

定理6:设σ是Vn(F)上的线性变换,则 dim= dim Kero+dmImσ 证:设 dim Kero=r,在Kero取基G1,…,E, 把它扩充成V的一组基s1,…,E,En n 则Imσ=L(oE1,…OEn)=L(OEn1…,OEn) 只要证明aen1,…,En线性无关, 设有k+1Oen+1+…+ k oe=0, →>O(kn+1En+1+…+k, )=0 n n kn+1+…+knEn=kE1+…+k,En 15r5Cr+15 E线性无关→>k,=0, dim img=n-r

7 dim dim dim Im . 6 ( ) , =  +   V Ker 定理 ：设 是Vn F 上的线性变换 则 1 1 1 dim , , , , , , , , , . r r r n Ker r Ker V         + 证：设 = 在 取基 把它扩充成 的一组基 ( ) 0 0, 1 1 1 1 → + + = + + = + + + + r r n n r r n n k k k k       设有  1 1 1 Im ( , , ) ( , , ). , , , n r n r n      L L   + + 则 = = 只要证明 线性无关 dim Im . , , , , , 0, 1 1 1 1 1 1 n r k k k k k r r n i r r n n r r  = − → =  + + = + + + + +          由   线性无关  

推论:σ是单射令σ是满射 KerG=0<Imo≡ 例6:设n阶方阵满足A2=A,证明/,0 00 pOf:把A看成Vn(F)的 线性变换a在基1,…,En下的矩阵,即 (GE,…,oEn)=(,…,cn)A,于是有a2=a 任a∈Ima(a=aB,B∈V) oa=o(oB)=oB=a 当(≠O时,≠0, Ima∩KerO={0} 任a∈ImG,o= n=dim Imo+dim Kero= dim(Im o+Kero) 丿=ImG⊕Kero

8 0 Im . . Ker =   =V     推论： 是单射 是满射 . 0 0 0 6 , ~ 2       = r I 例 ：设n阶方阵A满足A A 证明A ( , , ) ( , , ) , . , , : ( ) 2 1 1 1            = 于是有 = 线性变换 在基 下的矩阵，即 把 看成 的 A proof A V F n n n n    Im ( , ) ( ) Im {0}. V Ker              =  = = =   = 任 Im , . 0 0,    =      任 当 时， Im . dim Im dim dim(Im ),  =    =  +  =  +  V Ker n Ker Ker

在Ima中取基mn,…,,在Kero中取基n, 5/n Cm7=7 0.i=r+ 1.0 a(h,…,mn)=(h,…,m) §3-2不变子空间 00 定义10:设是Vn(F)上的线性变换W是的 子空间如果对任α∈W,有o∈W, 则称W为G的不变子空间 example:Kero和mo均为o的不变子空间 任a∈Kero,有o=0∈Kero; 任β∈mocV,a∈ma

9 1 1 Im , , , , , ,       r r n Ker 在 中取基 在 中取基 + §3-2 不变子空间 . , , , 10 : ( ) , 则称 为 的不变子空间 子空间 如果对任 有 定义 设 是 上的线性变换 是 的     W W W Vn F W V example Ker 1: Im .    和 均为 的不变子空间 任     =  Ker Ker , 0 有 ； 任        Im , Im . V 1 1 , 1, , ; 0, 1, , 0 ( , , ) ( , , ) . 0 0 i i i r n n i r i r n I         = = = = +    =    

example2:a,z是V(F)的线性变换,若oz=zo, 则Kerz,Im是o的不变子空间 pO0f:∨∈Kerr,要证G∈Ker, z(G)=0(2)=(0=0,即证τ(o)=0 又任a∈Imz(有a=m)要证aa∈Imr, O=o()=(am)∈Imz example3::f(a)与∂乘法可交换 kef(a)与mf(a)都是o的不变子空间

10 2: , ( ) , n example V F     是 的线性变换，若 = ( ) ( ) (0) 0, : , , = = =                proof Ker 要证 Ker 即证() = 0, ( ) ( ) Im . Im ( ) Im ,                = =  又任  有 = 要证  则Ker   , Im . 是 的不变子空间 example f 3: ( ) ,   与 乘法可交换 Kerf f ( ) Im ( ) .    与 都是 的不变子空间