《理工科代数基础》Chapter II Polynomial form

Chapter II Polynomial form 1216 (1)带余除法与整除性 会除,除对 (2)最大公因子与辗转除法会求,求对。 定理2:设f,g∈F[X,则(f,g)=d(X)存在 且唯一,而且存在u,v∈F[X],使 lJ+g= d bezout等式 (3)互素定理3: 会求,求对。 (f,g)=1分存在u,v∈F[X]使uf+vg=1 (4)实系数多项式(x)复根总是成共轭对出现 若a是其根,则改也是根

1 Chapter II Polynomial form (1)带余除法与整除性 (2) 最大公因子与辗转除法 (3)互素 . , , [ ], 2 , [ ], ( , ) ( ) 等式 且唯一 而且存在 使 定理 ：设 则 存在 uf vg d Bezout u v F X f g F X f g d X      3 ( f , g)  1 u,v  F[X ] uf  vg  1. 定理 ： 存在 使 会除，除对。 会求，求对。 会求，求对。 (4) ( ) , f X   实系数多项式 的复根总是成共轭对出现。 若 是其根 则 也是根。 1216

Chapter Il Linear space (1)子空间的定义a判断W是V的子空间的方法 b三个重要的子空间A的零空间N(A),列空间R(A) a12…a的生成空间L(a1…,a、) (2)子空间的运算a子空间的交与和b维数公式 dim W,+dim W,=dim(W,+W,)+dim(w,n w,) (3)子空间的直和定理:设W,W是Vn(F)的子空间, W=W+WZ,则以下4个命题等价 (1)W,AW,=0f;(2)dim(W)=dim(W)dim(w,) (3)任α∈W,a=a1+a2a1∈Wa2∈W2分解式唯一; (4)0表为W与形中元素和的方法唯一,即0=0+0

2 Chapter III Linear Space (2)子空间的运算 a.子空间的交与和; dimW dimW dim(W W ) dim(W W ) . 1  2  1  2  1  2 b维数公式 (3)子空间的直和 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 (1) {0}; (2)dim( ) dim( ) dim( ); (3) , , , ; (4)0 0 0 0. W W W W W W W W W W                  任 分解式唯一 表为 与 中元素和的方法唯一，即 1 2 1 2 : , ( ) , , 4 : W W Vn F W W W 定理 设 是 的子空间 则以下 个命题等价 (1)子空间的定义 a.判断W是V的子空间的方法; 1 s 1 s b. :A N(A), R(A),  ,, L( ,, ) 三个重要的子空间 的零空间 列空间 的生成空间

(3)线性空间的同构a任V同构F (4)求补子空间 V与V2同构<dmV1=dimV2 设V是n维线性空间,W是V的子空间 要求会求补子空间W3使得V=WW3 设a12…,an是W的一组基,扩充为V 的基 B , 则B m+15/m+25 ,是W的一组基 (5)*商空间设是(F)的子空间,要求会求 商空间V/W.-求它的基和维数。 定理:设V是n维线性空间,W是V的 m维子空间,则dimW/W=n-m

3 (3)线性空间的同构 . dimV dim . . , bV1 V2 1 V2 a Vn Fn 与 同构   任 同构 (4)求补子空间 3 3 . V n W V W V  W  W 设 是 维线性空间， 是 的子空间， 要求会求补子空间 使得 (5)*商空间 / . W Vn F V W   设 是 ( )的子空间，要求会求 商空间 求它的基和维数。 1 1 1 1 2 3 , , , , , , , . , , , . m m m n m m n W V W                 设 是 的一组基，扩充为 的基， 则 是 的一组基 dim / . V n W V m V W  n  m 定理：设 是 维线性空间， 是 的 维子空间，则

Chapter iv Linear Transformations (1)线性变换的核与值域定义与主要定理 会求kera与Imσ, 会求,求对。 ama=(a1,…,En,)R(A), b.Kerσ=(61,…,En)N(A), C dimv=dim ker o +dim imo (2)不变子空间 定义与主要结论 σ是Vn(F)上的线性变换W是V的子空间如果 对任&∈W,有o∈W,则称W为o的不变子空间 o的一维不变子空间与σ的特征向量之间的关系 含向量a(a∈V)的最小不变子空间怎样求4

4 Chapter IV Linear Transformations (1) 线性变换的核与值域 会求 ker  与 Im  , . ( , , ) ( ), b Ker   1   n N A . Im ( , , ) ( ), a    1   n R A c. dimV  dim ker  dim Im. 定义与主要定理 会求，求对。 (2)不变子空间 ( ) , , , , . Vn F W V W W W       是 上的线性变换 是 的子空间 如果 对任 有 则称 为 的不变子空间 定义与主要结论 含向量( V )的最小不变子空间怎样求. 的一维不变子空间与的特征向量之间的关系

(3)线性变换在其不变子空间上的限制 (4)线性变换的特征值,特征向量会求,求对。 (5)极小多项式定义,求法.会求,求对 (6)线性变换可对角化的条件: 个定义,五个充要条件 (7) Jordan标准形计算 1求A的特征多项式 2(1)求Jn(4)中Orum块的个数 (2)求阶Jorm块的个数 3写出A的 Jordan标准形 4求可逆阵P 会算,算对

5 (3) 线性变换在其不变子空间上的限制 (4)线性变换的特征值,特征向量 （5）极小多项式 会求，求对。 定义，求法. 会求，求对。 （6）线性变换可对角化的条件: 一个定义,五个充要条件. （7）Jordan标准形计算 1.求A的特征多项式 2.(1) ( ) i n i 求J  中Jordan块的个数 (2)求k阶Jordan块的个数. 3.写出A的Jordan标准形 4.求可逆阵P 会算，算对

Chapter v Eucliden space (1)正交补与直和分解。 会求,求对。 设W是n维线性空间的子空间, 要求会求W的正交补子空间W使得 V=W⊕W一-即求W的基和维数。 (2)正交变换。定义与主要定理 (3)对称变换。定义与主要定理。 (4)(正交)投影变换。定义及相关结论

6 Chapter V Eucliden Space （1）正交补与直和分解。 (2)正交变换。定义与主要定理。 (3)对称变换。定义与主要定理。 会求，求对。 . W n V W W V W W W        设 是 维线性空间 的子空间， 要求会求 的正交补子空间 使得 即求 的基和维数。 (4)(正交)投影变换。定义及相关结论

14.poC:(1)对va,B∈V有G(a+B) (a+B)-2(,+B)=a+B-2(7,)-2(7,B)7 o(ka)=ka-2(n, ka n =aa+σfB, =ka-2(7,a)n=koa.∴a是线性变换 又(a,OB)=(a-2(7,0)m,B-2(7,B)m)=(a,B) G是一个正交变换 (2)将n扩充为V的一组标准正交基m7,n2…,n 则∵σn=7-2(m,)7=-n 71=m1(=2,…,n) σ在此基下的矩阵为A=diag(-1,1,…,1) detA=-1,∴σ是第二类的

7 [ 2( , ) ] . . ( ) 2( , ) , ( ) 2( , ) 2( , ) 2( , ) 14. :(1) , ( ) 是线性变换 对 有                                                     k k k k k proof V ( 2, , ) 2( , ) (2) , , , 2 i n V i i n                      则 将 扩充为 的一组标准正交基 . ( , ) ( 2( , ) , 2( , ) ) ( , ) 是一个正交变换 又                   det 1, . ( 1,1, ,1) 是第二类的 在此基下的矩阵为          A A diag 

(3)取的一组标准正交基61…En1,则:是的 不变子空间∴取En∈,则有ven=AEn τ的实特征值为±1,而τ恰有n-1个属于2=的 线性无关的特征向量,=-1 z在基…En1,En下的矩阵为A=dlag{1…,1,-1} V=xE1+x62+…+xEn c(a)=(x6+x2E2+…+xn)=xE1+…+xEn1-x5n XE+x2+…+x5n1-2x5n1=-2(E)n 故是镜面反射

8 1 1 1 1 1 1 1 (3) , , , , , , 1, 1 1 , 1 , , , {1, ,1, 1}. n n n n n n V V V n A diag                                    取 的一组标准正交基 则 是 的 不变子空间 取 则有 的实特征值为 而 恰有 个属于 的 线性无关的特征向量 在基 下的矩阵为 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 , ( ) ( ) 2 2( , ) . n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x                                                 故 是镜面反射

222 6用(a1,a,)=an,不能设特殊的a 15证-1为特征值,即要证A+1=0 A+1=14+4=+4=-4+1 A+1=0

9 0 15. 1 0               A I A I A A A I A A A I A I T T 证 为特征值，即要证 222 6. ( , ) , . i j ij P 用    a 不能设特殊的

12 设a,B∈V,且l|=|B,试证必有正交变换o,使a=B 证:若l=|B(=0,显然任意正交变换均可。 若||=|B≠0,记 71 C ββ 由E1,n1分别扩充成的两组标准正交基 15C2 与 2 对ya∈Ⅳ,记a=x161+x2E2+…+xEn oaDx171+x22+…+xn7, 则σ是线性变换,且σ(e)=m,i=1,…,n 又σ把标准正交基变成标准正交基, σ是正交变换,且(a)=B

10 12.设, V ,且    ，试证必有正交变换，使   证： 若    =0，显然任意正交变换均可。 1 1 , V             1   1 若 0，记 ， ， 由 分别扩充成 的两组标准正交基 1 2 1 2 , , , , , , n n     与     1 1 2 2 , V n n 对  记  x   x    x  D 1 1 2 2 n n  x   x     x  则是线性变换， ( ) 1, , i i 且   i   n ( )       又 把标准正交基变成标准正交基， 是正交变换，且