1203 作业: P411,12,16,19,21 看书: 125-1 答疑时间:周二周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅
1 看书： 答疑时间： 周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅 1203 P64 11, 12, 16, 19, 21. 作业： P P 45 54 −
定义4:i)设f(X)=anXn+…+a1X+a,c∈F, 则f(c)=ancn+…+a1c+a,称为f(X)在c点的值。 i)若f(c)=0,称c为f(X)在F中的根或零点, 也称c为f(X)=0的解或根 定理2:i余数定理f(x)=(x-c)q(X)+f(c) i)零点定理f(c)=0(X-c)f(X) c为f(X)的根f(X)=(-c)q(X) 设f()=(x-c)mg(X),(g(X)∈F(X),c∈F, g(c)≠0,m≥1 则称c为f(X)的m重根。当m=1时称c为单根
2 ) ( ) 0 ( ) ( ). 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ). ii f c X c f X i f X X c q X f c = − = − + 零点定理 定理 ： 余数定理 c为f (X)的根 f (X) = (X − c)q(X)。 则称 为 的 重根。当 时称 为单根。 设 c f X m m c g c m f X X c g X g X F X c F m ( ) 1 ( ) 0, 1) ( ) ( ) ( ),( ( ) ( ), , = = − 则 称为 在 点的值。 定义 ： ）设 f c a c a c a f X c i f X a X a X a c F n n n n ( ) , ( ) 4 ( ) , , 1 0 1 0 = + + + = + + + 也称 为 的解或根。 若 称 为 在 中的根或零点， ( ) 0 ) ( ) 0, ( ) = = c f X ii f c c f X F
定理3:域F上的次多项式f(X)在F中最多 有n个根(重根按重数计入) proof:设a1为f(X)的根,则由零点定理彐f(X) 使f(X)=(X-a1)f1(X)再若a2是根a1≠a2 则f(X)=(X-a1)(X-a2)/(Y) 继续 f(X=(x-a1). (X-amfm(X) (X-a1)1…(X-amn)”mfm(X) 两边次数相等,∑n2≤n
3 继续 则 使 再若 是根 设 为 的根 则由零点定理 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) , ( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 f X X a X a f X f X X a f X a a a proof a f X f X = − − = − = − − = − − = m i i m n m n m m n n X a X a f X f X X a X a f X m 1 1 1 , . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 两边次数相等 ( ). 3 ( ) 有 个根 重根按重数计入 定理 ：域 上的 次多项式 在 中最多 n F n f X F
推论:设f(X)∈F[X],degf(X)=m,如果f(X) 在F中有>n个不同的根,则f(X)=0 定理4:设f(X),g(X)∈F[X,degf,degg<m 若在n个不同的点c1…,Cn上,f(c)=g(c) 则f(X)=g(X) 证:令h(X)=f(X)-g(X).则 …Cn是h(X)的不同的零点,h(X)=0
4 ( ) ( ). , , , ( ) ( ) 4 ( ), ( ) [ ], deg ,deg . 1 f X g X n c c f c g c f X g X F X f g n n i i = = 则 若在 个不同的点 上 定理 ：设 , , ( ) , ( ) 0. ( ) ( ) ( ). 1 = = − c c h X h X h X f X g X n 是 的不同的零点 证：令 则 , ( ) 0. ( ) [ ], deg ( ) , ( ) = = F n f X f X F X f X n f X 在 中有 个不同的根 则 推论：设 如果
§1-3最大公因子与辗转相除法 定义1;设f,g∈F[X 1)若h(x)∈F]满足hf,hg 则称h(X)为f(X)与g(X)的公因式 2)若d(X)∈F是f和g的公因式, 且是f和g的任一公因式的倍, 则称d(X)为f(X)与g(X)的最大公因式 f与g的首一最大公因式记为(f,g)
5 §1- 3 最大公因子与辗转相除法 则称 为 与 的公因式。 若 满足 定义 ；设 ( ) ( ) ( ) 1) ( ) [ ] , 1 , [ ] h X f X g X h X F X h f h g f g F X ( ) ( ) ( ) . 2) ( ) [ ] , 则称 为 与 的最大公因式 且是 和 的任一公因式的倍， 若 是 和 的公因式 d X f X g X f g d X F X f g f 与g的首一最大公因式记为( f , g)
引理1:若f=gq+r,则f,g)=(r,g) poof:由(f,g)f,(f,g)g,知(f,g) 故(f,g)(,g);同理(r,g)(f,g) f=8q1+,deg≤degg deg r2 degr q3+ rs-2=rs-19s+rs degrs degrs s-1=rs95+ (f,g)=(g,1)=…=(-1,r)=C
6 , , [ ] 1 , ( , ) ( , ). f g r F X f gq r f g r g 引理 ：若 = + 则 = ( , )( , ); ( , )( , ). : ( , ) , ( , ) , ( , ) , f g r g r g f g proof f g f f g g f g r 故 同理 由 知 , , deg deg , deg deg 1 2 3 3 1 2 2 2 1 1 1 1 r r q r g r q r r r f gq r r g = + = + = + s s s s s s s s s s s s f g g r r r cr r r q r r q r r r = = = = = = + − − + − − − ( , ) ( , ) ( , ) deg deg 1 1 1 1 2 1 1
例25 fX q(X)x2+2x2-3x+x-x-2x+ 1q0 =x+1x3+x2-2xx+2x3-3x x-1 x2+2x-3 x3-x2+x+1 x2+x-2 x3-2x2+3 r2)=x-17()=x2+x-2 =(x-1)x+2) 所以(fg)=r2(x)=x-1 f=gg1 tri g=nq2+r2 8-7i92=g-(f-gq1q2 =-q+(1+q42)g=(8)7
7 g(X) f(X) x 4+ x3 - x 2 x 3+ 2x 2 -3 - 2x+ 1 q1 (X) x 4+2 x 3 - 3x - x 3 - x 2 +x + 1 - x 3 - 2x 2 + 3 r1 (x)= x2 +x -2 q2 (X) x 3 + x2 -2x x 2 +2x -3 x 2 + x -2 r2 (x)= x -1 =(x-1)(x+2) 所以 ( f, g ) = r2 (x) = x -1 , . 1 1 1 2 2 f = gq + r g = rq + r (1 ) . ( ) . 2 1 2 2 1 2 1 2 q f q q g r g r q g f gq q = − + + = − = − − = x =x -1 +1 例2.5 =( f, g )
f=ggi+r, g=rg,+r? r-14s egrs<degr 7s-2 q 4-7-34s-2 3-/s-2qs-1)qs =f与g的线性组合。 定理2:设,g∈F[],则(f,g)=d(X)存在 且唯一,而且存在u,v∈F[X],使 lf+vg= d bezout等式
8 f 与g的线性组合。 r r q r r q q r r r q s s s s s s s s s s s = = = − − − = − − − − − − − − − ( ) ( ) 4 3 2 3 2 1 2 1 . , , [ ], 2 , [ ], ( , ) ( ) 等式 且唯一 而且存在 使 定理 ：设 则 存在 uf v g d Bezout u v F X f g F X f g d X + = = 2 1 deg deg 1 , s− = s− s + s s s− r r q r r r 1 1 1 2 2 f gq r g rq r = + = + ,
§1-4互素 定义:设f,8∈FK,若(f,g) 则称f(X)与g(X)互素 定理3:(f,g)=1兮存在l,v∈FX]使 f+vg=1. poof:→由 Bezout等式:d(X)=1得证 设(f,g)=d(X),则d(X)f, d(X)g,d(X)1∴d(X)=1 整除和互素有如下性质:
9 §1- 4 互素 则称 与 互素。 定义：设 若 ( ) ( ) , [ ], ( , ) 1 f X g X f g F X f g = 1. 3 ( , ) 1 , [ ] + = = uf v g 定理 ： f g 存在u v F X 使 ( ) , ( )1 ( ) 1. ( , ) ( ), ( ) , : ( ) 1 = = = d X g d X d X f g d X d X f proof Bezout d X 设 则 由 等式 得证。 整除和互素有如下性质：
定理4:)若fgh,且(f,g)=1,则fh i)若fg,f2|g,且(f1,2)=1,则f/2|g i)若(f,g)=1,(f,h)=1,则(f,gh)=1. proof:i)由uf+vg=1,两边同乘h fh+vgh=h→>fh i)g=ih1,/21h,且(f1,)=1,应2h1 内1=/2h2,g=/2h2,/2 i)由l+wg=1,sf+th=1,两边相乘得 uf(sf+th)+sfvg+vtgh=1 (f, gh)
10 ) ( , ) 1, ( , ) 1, ( , ) 1. ) , , ( , ) 1, . 4 ) , ( , ) 1, . 1 2 1 2 1 2 = = = = = iii f g f h f gh ii f g f g f f f f g i f gh f g f h 若 则 若 且 则 定理 ： 若 且 则 . : ) 1, u f h v g h h f h proof i u f v g h + = → 由 + = 两边同乘 , , . ) , , ( , ) 1, 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 h f h g f f h f f g ii g f h f f h f f f h = = = 且 = ( , ) 1. ( ) 1 ) 1, 1, = + + + = + = + = f gh uf sf t h sfvg vtgh iii 由uf v g sf t h 两边相乘得