1206 作业 100 21;n42,10,12,16. 看书 191 P-p 97 108 答疑时间:周二,周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅
1 看书： P P 91 97 − P P 100 174 2 2, 10, 12, 16. 作业. 1; P P 101 108 − 1206 答疑时间： 周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅
§6商空间 定义12:设W是V的子空间,如a,B∈V,满足 a-B∈W,则称a与模W同余,记作 a=(mod) 自反性α=a(modw),vaev 对称性如α=(mod)则B=a(modW) 传递性如=(modw)=y(modw) 则a=y(modW) a-y=(a-b)+(B-y)∈W 模W同余是线性空间V上的一种等价关系
2 §6 商空间 , , , , ( mod ) W V V W W W − 定义12：设 是 的子空间，如 满足 则称 与 模 同余 记作 模 W 同余是线性空间V 上的一种等价关系 自反性 (modW), V 对称性 如 (mod ) (mod ) W W 则 传递性 如 (mod ) (mod ) W W − = − + − ( ) ( ) W 则 (mod ). W
定义13:设W是的子空间,Va∈V, 定义的子集合a+W={a+月B∈W} 称为模W的一个同余类,而c叫做这个 同余类的一个代表 例21 V=R W是过原点的直线 a+wO a+W是平行W的直线
3 . , { } , 同余类的一个代表 称为模 的一个同余类 而 叫做这个 定义 的子集合 定义 ：设 是 的子空间， W V W W W V V + = + 13 例21: x y W O . , 2 是平行 的直线 是过原点的直线 W W W V R + = +W
模W的同余类的基本性质 (1)若a′∈a+W,则a+W=a+W (2)若y∈a+W,而y+W, 则(a+W)∩(B+W)= 证()∵a'∈a+W→彐B∈W,使a′=a+B Vy∈a'+W,BB1∈W,使y=a'+B a+B+B1=a+(B+B)∈a+∴左∈右; 同理δ∈a+W,彐B2∈W,使δ=a+B2 =a+B-B+B,=a+B2-BEa'+w 右c左,→左=右
4 模W的同余类的基本性质: (1)若 +W, 则 +W = +W. 证(1) +W → W,使 = + . . . , 2 2 2 2 右 左， 左 右 （ ） 同理 ，使 = = + − + = + − + + = + W W W ( ) ( ) , (2) , , + + = + + W W W W 则 若 而 （ ） 左 右； ，使 = + + = + + + + = + W W W 1 1 1 1
(2)若δ∈(a+W)∩(B+W),则由(1)知 a+w=8+w=B+w 与已知y∈a+W,y≠β+W矛盾. 线性空间Ⅳ按模W同余关系所得等价类 的集合V={a+Wa∈}是的商集 在商集V中定义加法和数乘如下: (a+W)+(+W)=(+B)+W, (a+w=ca+w 则V对于所定义的运算构成域F上的线性 空间,称为V的商空间.记作V/W
5 的集合 { } 是 的商集. 线性空间 上按模 同余关系所得等价类 V W V V V W = + ( ) . ( ) ( ) ( ) , c W c W W W W V + = + + + + = + + 在商集 中定义加法和数乘如下： . (2) ( ) ( ), (1) 与已知 ， 矛盾 若 则由 知 W W W W W W W + + + = + = + + + V . V /W. V F 空间，称为 的商空间 记作 则 对于所定义的运算构成域 上的线性
定理18:设V是n维线性空间,W是 m维子空间,则dimV/W=n-m 证:设a1…,以n是W的一组基,扩充为V 的基,a1,…,am,Bn1,…,βn若 km+1(Bn+1+W)+km+2(Bn+2+W)+ +…+kn(n+W)=0+W, (hmBm41+km2Bm42+.+k,B,)+w=0+W, n2+1/m+1 m+2/m+2 +…+knBn∈W, 设kn+1Bn+km+2Bn+2+…+k,Bn l1a1+l2a2+…+lnan 6
6 dim / . 18 m V W n m V n W V 维子空间，则 = − 定理 ：设 是 维线性空间， 是 的 的基， 若 证 设 是 的一组基，扩充为 , , , , , . : , , 1 1 1 m m n m W V + ( ) 0 , ( ) ( ) 1 1 2 2 k W W k W k W n n m m m m + + + = + + + + + + + + + , ( ) 0 , 1 1 2 2 1 1 2 2 k k k W k k k W W m m m m n n m m m m n n + + + + + + + = + + + + + + + + + m m m m m m n n l l l k k k = + + + + + + + + + + 1 1 2 2 设 1 1 2 2
即有1a1+l2a2+…+ km++ m+2/m+2 kn=o, m+1 m+2 k=0 Bn+1+W,Bn+2+W,…,Bn+W线性无关 又设y+W∈V/W,由于y∈ y=x01+…+ rd+yn+1Bmn++…+ynB ∈ m+1/m+1 +…+yn/n)+W 故y+W=(ymn1Bn+1+…+ynBn)+W
7 0, 2 2 1 1 2 2 1 1 − − − = + + + − + + + + m m n n m m m m k k l l l k 即有 m m m m n n x x y y W V W V = + + + + + + 1 1 +1 +1 又设 / , 由于 , W W W线性无关。 k k k m m n m m n + + + = = = = + + + + , , , 0. 1 2 1 2 ( ) . ( ) . 1 1 1 1 W y y W y y W m m n n m m n n + = + + + + + + + + + + 故
故y+W=(yn/Bn++…+ynB,)+W =ym+(Bm+1+W)+yn+2(Bn+2+W) +…+yn(Bn+W) Bn++W,Bn+2+W,…,Bn+W 可以表示任y+W∈V/W,且线性无关, 是/W的一组基,:dinV/W=n-m example::V3(R),W=z轴是的子空间 则商空间(R)W={LLMz轴
8 ( ), ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 y W y W y W W y y W n n m m m m m m n n + + + = + + + + = + + + + + + + + + 故 3 3 ( ) . ( ) / // example V R W z V V R W L L Z = = ： 中， 轴是 的子空间 则商空间 轴 ： / dim / . / , , , , 1 2 V W V W n m W V W m W m W n W = − + + + + + + 是 的一组基， 可以表示任 且线性无关，
Z B+w atw k(a+W+k2(B+) B C 对0xy平面上任两个不共线的向量a,B, 有a+W,月+W是商空间3(R)/W的基
9 X Y Z +W +W O ( )/ . 0 有 ， 是商空间 3 的基 对 平面上任两个不共线的向量 ， ， W W V R W x y + + k ( + W ) + k ( + W ) 1 2
Chapterlv linear Transformations §1.1线性变换的定义和基本性质 定义1:设V是数域F上的线性空间,是V上的 个变换,若σ满足 (1)o(a+B)=a+aB对任a,B∈V, (2)(ka)=ka对任a∈V,k∈F, 称σ是V上的线性变换 性质:1.G(0)=0;2.a(a)=-o(a) 3若月=ka1+k2a2+…+kan →aB=k101+k2a2+…+ko
10 ChapterIV Linear Transformations §1.1 线性变换的定义和基本性质 V F V , 定义1：设 是数域 上的线性空间 是 上的 一个变换，若 满足 性质：1. (0) 0; 2. ( ) ( ); = − = − (1) ( ) , , (2) ( ) , , . V k k V k F V + = + = 对任 对任 则称 是 上的线性变换 1 1 2 2 3. s s 若 = + + + k k k 1 1 2 2 s s = + + + k k k
