《理工科代数基础》补充题

1210 补充题 01 设N= ∴1A=N3 0 10 求可逆阵P,使P-AP为 Jordan标准形. 1

1 补充题 3 10 1 0 1 1 0 , . N A N P P AP Jordan −     = =         设 求可逆阵 使 为 标准形 1210

求极小多项式的方法3:利用 Jordan标准形 定理:设方阵A的特征多项式为 f(x)=(x-4)"(x-12)2….(x-2.)”2≠1 记极小多项式为 m()=(2-4)y1(2-2).(2-2)".其中m≤n1 若A~J=dign(1),/2(2),…,n() 则mn=Jn(4)中最大 Jordan块的阶数 m(=(J-4)"(-22D)n…(-21) O

2 求极小多项式的方法 3：利用Jordan标准形 定理: 设方阵 A 的特征多项式为 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s n n n s i j f          = − − −  记极小多项式为 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) m m ms m m n A s i i        = − − −  其中 若 ~ { ( ), ( ), , ( )}. n n n s 1 2 1 2 s A J diag J J J =    则 mi ( ) 中最大Jordan块的阶数. i n i = J  1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) m m ms m J J I J I J I A s O = − − −    =

m(=(-41)(-21)"…(J-21D) Jn(4)-4m (4)-

3 1 1 1 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) s m n n n n s J I J I J I         −   −       −   1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) m m ms m J J I J I J I A s = − − −    =

Jn(4)-2n Jn (3)-nI J(41)- n,(x-)-2

4 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) s s s m n s n n s s n s s J I J I J I       − −    −   − −   = 2 1 1 2 3 1 2 2 2 3 2 ( ) ( ) ( ) m n n n n J I J I J I         −   −       −    

(n(4)-21) (n(42)-21)n 0 (Jn(x2)-n) 省略号处 都是 可逆方阵

5 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) s s s m n m n m n s n J I J I O J I         −        −             =     −   省略号处 都是 可逆方阵

01 01 =O 0 k 01 Jn(4) 故,当m,= 01 2(4)最大oam阶数时, (n(4)-Aln)=0

6 0 1 1 0 0 1 ( ) 1 0 0 1 1 0 i i i n i i n n J I       = −     0 1 1 0 k k O       =       ( ) ( ( ) ) i i i i i n i m n i i n m J Jordan J I O    = − = 故 当 的最大 的阶数时 ,

m()=(-2(-21)"…J-x.D) 2(42)-4y Ln(2)-47ny [(-n,In Jn(2)-2/n

7 1 2 2 1 2 1 1 [ ( ) ] [ ( ) ] s s m n n m n s n O J I J I         −   =     −   1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) m m ms m J J I J I J I A s = − − −    2 1 1 2 3 3 1 2 3 2 [ ( ) ] [ ( ) ] m n n m n n J I O J I       −         −    

[n M)-nIn s h1 0 推论:当σ的极小多项式无重根时 11=m 即最大的 Jordan块都是一阶的,故 是对角阵所以o可对角化。 G可对角化分>G的极小多项式无重根

8 1 1 1 1 1 1 [ ( ) ] [ ( ) ] s s s s m n s n m n s s n J I O J I O     − − −   −      =   −     推论:当 的极小多项式无重根时，  1 2 1 m m m = = = = s 即最大的Jordan块都是一阶的，故 J是对角阵所以 可对角化。 .  可对角化 的极小多项式无重根

在以下后面的讨论中将用到以下的习题和例题 D。15.D 16.24 175 exp3::f(o)与σ可交换, Kerf(o)与Imf(o)都是G的不变子空间

9 P P 99 175 15. 16, 24. ( ) Im ( ) . exp 3: ( ) , 与 都是 的不变子空间 与 可交换       Kerf f  f 在以下后面的讨论中,将用到以下的习题和例题

§6-3根子空间与空间分解定理 定理1:设(F)上的线性变换的极小多项式为 m()=(x-4)"(x-2)"…(-2) 其中≠.、m∠ 则U=ker(a-1) ={a∈a满(-E)a=0} 是O的不变子空间.且有 丿=U,U,④.U

10 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , m m ms A s i j i i i V F n m m n n n           = − − −   =  定理1:设 上的线性变换 的极小多项式为 其中 ker( ) { ( ) 0 } i i i m i m i U V           = − =  − = 满足 则 是 的不变子空间.且有  1 2 s V U U U =       §6-3 根子空间与空间分解定理