1212 作业 P26,9,11,12. 看书 P-P 179 197 答疑时间:周二,周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅
1 看书： P P 179 197 − P222 6, 9, 11, 12. 作业： 答疑时间：周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅。 1212
Chapter v Eucliden Space §1欧几里得空间的定义和性质 Vn(R中内积是一个对称正定,双线性函数 V(R)×V(R)→R a Bb(a,B) (1)(c,B)=(,a);对称性 (2)(a,B)=k(a,B) 双线性性 (3)(a+B6,y)=(a,y)+(B,y) (4)(a,x)≥0且(a,a)=0>a=02 正定性
2 Chapter V Eucliden Space §1 欧几里得空间的定义和性质 V (R)中内积是一个对称,正定,双线性函数. n ( , ) ( ) ( ) V R V R → R (4) ( , ) 0 ( , ) 0 0. (3) ( , ) ( , ) ( , ); (2) ( , ) ( , ); (1) ( , ) ( , ); = = + = + = = 且 k k 对称性 双线性性 正定性
a|=√a,a (a,B) p=arccos 0<≤兀 D aB a⊥B=(a,B)=0 1 Cauchy- Schwarz不等式,(a,P)≤|af 设a a+…+aO√ 2 2 C1+…+a +…+b rbf(x)g(x)dx< raf(x)dx ra2(x)cx
3 ( , ) arccos , 0 = 1.Cauchy − Schwarz不等式，（，） . = ( , ), ( , ) 0. D ⊥ = = 设 ， 则 = = n bn b a a 1 1 , 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n n a b a b a a b b + + + + + + 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx
2标准正交基a,a,…,=n两两正交且|e|=1 3.Schm正交化程序设a1…,an线性无关, Bi B1 9 2=a2-(2)e,aB A2 n n 1)n-1 B
4 2. , , , , 1. 标准正交基 1 2 n 两两正交且 i = 3. Schmidt正交化程序. 设1 , ,n 线性无关， , , 1 1 1 1 1 1 1 = e = = ( , ) , , 2 2 2 2 2 1 1 2 = − e e e = . ( , ) ( , ) ( , ) , 1 1 2 2 1 1 n n n n n n n n n n e e e e e e e = = − − − − −
4可逆阵的QR分解 设ax1…,an线性无关,a1∈R", B1= 1 a2=(a2,a)e1+B1e2, an=(a, e)e+.+(an,n-en-1+Bonle 半 (a1…an)=(e1…en Bn
5 4.可逆阵的Q R分解. , , , 1 n 设 n 线性无关，i R , 1 1 1 1 = = e ( , ) , 2 2 1 1 2 2 = e e + e ( , ) ( , ) . n n 1 1 n n 1 n 1 n n = e e + + e e + e − − ( ) ( ) = n n n e e * * * 1 1 1
5内积的度量矩阵设a,B的坐标分别为X,Y, 则(a,B)=∑∑x(,a1)=XAY A=(ax,a,)由基向量的内积排成 (1)是实对称阵;(2)是正定的 (a,a)=XAX≥0且(a,a)=0兮a=0 (3)在不同基下的度量矩阵是相合的 (a, B)=X AY=(PX)A(PY=X(P)r =X BY B=P′AP6
6 (( , ) . i j )n n A = 由基向量的内积排成 (1) ; 是实对称阵 5.内积的度量矩阵. 设 , , , 的坐标分别为X Y (2) ; 是正定的 (3) . 在不同基下的度量矩阵是相合的 ( , ) 0 ( , ) 0 0. T = = = X AX 且 ( , ) = ( ) ( ) ( ) T T T T X AY PX A PY X P AP Y = = T = X BY 1 1 ( , ) = ( , ) n n T i j i j i j x y X AY = = 则 = T B P AP =
§2-3正交补与直和分解 a⊥W:设V是欧几里得空间,WcV,∈V, 若对β∈W,都有(a,B)=0, 则称a与W正交,记为a⊥W W1⊥W2:设W,平2CV( Enclid空间),va∈W β∈W,都有⊥β,则称W与W正交 例8:AX=0,解向量与的每一行向量都正交 故ml(A)⊥R(A)即A的零空间L4的列空间 设 m×n5 dim null(A)+dim R(A)=n=dim rn
7 §2-3 正交补与直和分解 , . , ( , ) 0, : , , , W W W W V W V V ⊥ = ⊥ 则称 与 正交 记为 若对 都有 设 是欧几里得空间 , , . : , ( ), , 2 1 2 1 2 1 2 1 都有 则称 与 正交 设 空间 W W W W W W W V Enclid W ⊥ ⊥ ( ) ( ) . 8 0, , 故 即 的零空间 的列空间 例 ： 解向量与 的每一行向量都正交 T T null A R A A A AX A ⊥ ⊥ = T n m n null A R A n R A dim ( ) dim ( ) dim , + = = 设 则
α在W上的投影:设WcV( Enclid空间) a∈V,β∈W,右c-β⊥W, a-B则称β是α在W上的投影, 记为(a)m=β 设B,2是a在W上的投影,则 (a-B,月1-B2)=0=(a-B2,B1-B2) →(B1-B2,B1-B2)=0,→>B=B2
8 ( ) . , , , ( ), = −⊥ W W V W W W W V Enclid 记为 则称 是 在 上的投影， 若 在 上的投影：设 空间 − 设1 ,2 是 在W上的投影，则 - 0 . - 0 - 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 → − = → = − = = − （ ， ） ， （ ， ） （ ， ）
设a,a2,…,n是W的标准正交基, 扩充为V的标准正交基 m+15 则 W④L(以m+1,…Cn) (1)L(am1…,a)中任一个向量与W正交 (2)一与W正交的向量 都∈L( +
9 扩充为 的标准正交基 设 是 的标准正交基 V , , , m W , 1 2 (1) ( , , ) . L m+1 n 中任一个向量与W正交 m m n , , , , , , 1 2 +1 ( , , ) (2) L m 1 n W 都 + 任一与 正交的向量 ( , , ). V W L m 1 n 则 = +
(1)∵V∈W,有B=∑ka1 y∈L( m+1 n),有 于是(,B)=∑k∑1(a,a1)=0 j=m+1 (2)任=∑xa1∈V,若以⊥W,则a,a,)=0 x=(x1,a,)=(a,ax)=0, j=1,2,…,m. a=∑xa1∈L(am+1,,an) i=m+1
10 i m i i W k = = 1 (1) , 有 2 , , ( , ) 0, 1 = ⊥ = = j n i （ ） 任 xi i V 若 W 则 j = 1,2, ,m j = 1,2, ,m. ( , ) ( , ) 0 ( , , ), 1 1 1 1 = = = = = + = + + n j m j i j m i i n j m m n j j k L 于是 有 ( , ) ( , ) 0, 1 = = = = j j n i x j xi i ( , , ). 1 1 m n n i m xi i L + = + =