几何与代数(2) 软件41,42;电4144;生医4 4+2版 精仪41-45等用2005春 《理工科代数基础》 《线性代数(2学习指导》 许甫华62787851 fxu(@math. tsinghuaeducn 1201
1 几何与代数（2） 软件41,42;电41-44；生医4； 精仪 41-45等用 2005.春 许甫华 62787851 fxu@math.tsinghuaedu.cn 1201 4+2版 《理工科代数基础》 《线性代数(2)学习指导》
本课程有一定的难度,除学习知识外还在 于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力 1按时完成作业作业占10分.(每周交一次) 2.机考一次占10分.(第八周周末,44节后) 3习题讨论课4-5次,第5周开始5,7,10,13 4.积极主动地学习,上课认真听讲课后及时复习 a.静思努力回忆老师讲的内容;b.好好读书 5.遵守课堂纪律:不迟到不早退不要聊天 积极参加课堂讨论答对者下课主动登记名字.2
2 1.按时完成作业,作业占10分. (每周交一次) 5. 遵守课堂纪律：不迟到,不早退,不要聊天. 积极参加课堂讨论,答对者,下课主动登记名字. 本课程有一定的难度,除学习知识外,还在 于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力. 4. 积极,主动地学习,上课认真听讲,课后及时复习 a. 静思,努力回忆老师讲的内容; b. 好好读书. 2. 机考一次,占10分. (第八周周末,4.4节后) 3.习题讨论课 4-5次,第5周开始 5, 7, 10, 13
看书:P-F4 作业:B4 5,6,8,9,10. 从第2周开始, 答疑时间:周二,五下午3:30-5:30 地点:理学院数学楼1108室或大厅 双周:周二,俞正光;周五,许甫华; 单周:周二,周耀耀;周五,林小雁。3
3 P P 1 14 − 答疑时间： 周二, 五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅 看书： 34 : 5, 6, 8, 9, 10. 作业 P 双周: 周二, 俞正光 ; 周五, 许甫华 ; 单周: 周二, 周耀耀 ; 周五, 林小雁。 从第2周开始
代1201 Chapterl Algebraic System(代数系统) §1-1集合及其运算 集合:把在我们直观或思维中的一定范围内的 所有对象作为一个整体来考虑称之为那些对象 的集合把该范围内的各个对象称为该集合的元 或元素.A,B,C表集合;ab,c,表示元素 表述集合的方法: (-—)列举法;(描述特征法 幂集:集合A的全体子集所组成的集合称 为A的幂集记为P(4) 全集一切集合看成它的子集用E表示
4 ChapterI Algebraic System (代数系统) §1-1.集合及其运算 集合: 把在我们直观或思维中的一定范围内的 所有对象,作为一个整体来考虑,称之为(那些对象 的)集合.把该范围内的各个对象称为该集合的元 或元素. A,B,C表集合; a,b,c,d表示元素. 表述集合的方法: (一一) 列举法; (描述)特征法. 幂集: 集合A 的全体子集所组成的集合称 为 A的幂集.记为 P(A) 全集:一切集合看成它的子集,用 E 表示. 代1201
例A={1,2,3} 则P(A)={0,A,(1},{2},{3},{,2},{1,3},{2,3} 用A4表示集合A所含元素的个数当4=时 P(A=1+Cn+Cn2+…+Cn+ (1+1) 定义1:A∩B={xx∈A且x∈B}交集 AUB={xx∈A或x∈B}并集 A-B={xx∈A但xB}差集 A=E-A={xA,A对E的补集这里E→A AB=(-B)∪(B-A)对称差 定理1运算规律自己看
5 则P A A ( ) { , ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}} = 但 差集 或 并集 定义 且 交集 { } { } 1: { } A B x x A x B A B x x A x B A B x x A x B − = = = 用 A A A n 表示集合 所含元素的个数.当 = 时 对称差 对 的补集 这里 ( ) ( ) { }, , ; A B A B B A A E A x x A A E E A = − − = − = 定理1.运算规律自己看 例:A {1,2,3} = 1 2 1 ( ) 1 1 (1 1) 2 n n n n n n P A C C C − = + + + + + = + =
§1-2关系,等价关系,分类 定义2设A和B为两个集合,称集合 {(a,b)a∈A,b∈B} 为集合A与集合B的笛卡尔积记作A×B 没有交换律,与序有关如A={1},B={2} 例3:设A={1,3,5},B={2,4}.则 A×B={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} ={(a,b)(a,b)∈A×B,a≤b ={(1,2),(1,4),(3,4)} S2=a,b)(a,b)EAB, a>b3 ={(3,2),(5,2),(5,4)}
6 §1-2.关系，等价关系，分类 定义2: , 设A B 和 为两个集合称集合 A B B A A B = = = = {(1,2)} {(2,1)} 没有交换律,与序有关.如 {1}, {2} {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} 3: {1,3,5} , {2,4} . = = = A B 例 设A B 则 {(1,2),(1,4),(3,4)}. 1 {( , ) ( , ) , } = S = a b a b A B a b {(3,2),(5,2),(5,4)}. 2 {( , ) ( , ) , } = S = a b a b A B a b {( , ) , } a b a A b B 为集合A B A B 与集合 的笛卡尔积, . 记作
S3={(1,2),(3,2),(3,4)} 定义3:设A,B为两个集合,A×B的子集R 称为从A到B的一个二元关系 若(a,b)∈R称为a与b具有关系R,也记为aRb; 否则称a与b不具有关系R,记作aRb 当R=时,称为空关系 当R=A×B时,称为全关系 当A=B时, AxA的子集R称为A上的一个二元关系
7 S3 ={(1,2),(3,2),(3,4)} 3: , , . A B A B R A B 定义 设 为两个集合 的子集 称为从 到 的一个二元关系 的子集 称为 上的一个二元关系 当 时 当 时 称为全关系 当 时 称为空关系 A A R A A B R A B R = = = , , , ; ( , ) , ; , . a b R a b R aRb a b R aRb 若 称为 与 具有关系 也记为 否则称 与 不具有关系 记作
例4:(整数模n同余关系) R={,b)a,b∈Z且a=b(mdm)} aRb台n(a-b).为Z上的一个二元关系 R={(1,11),(1,21),(1,31),(2,12),}, 定义4:设R是集合A上的一个二元关系 (1)若对va∈A均有(a,a)∈R,则称R是自反的 (2)对∨a,b∈A若当(a,b)∈时,也有(b,a)∈R, 则称R具有对称性 例:设A={1,2,3,4}, R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(4,1)}
8 ( ). . {( , ) , (mod )} 4 :( ) 为 上的一个二元关系 且 例 整数模 同余关系 − = aRb n a b R a b a b a b n n (1) , ( , ) , . 4 : . 若对 均有 则称 是自反的 定义 设 是集合 上的一个二元关系 a A a a R R R A (2) , , ( , ) , ( , ) , . a b A a b R b a R R 对 若当 时 也有 则称 具有对称性 {(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(4,1)}, : {1,2,3,4} , = = R 例 设A R ={(1,11),(1,21),(1,31), (2,12), }, ；
(3)对va,b∈A若当(a,b),(b,a)∈R时,有b=a, 则称R是反对称的 (4)对∨a,b,c∈A,若当(a,b),(b,c)∈R时, 也有(a,c)∈R,则称R具有传递性 例7:Z上的"模n同余关系" 都是 Mnn(R)上的相抵;M(R)上的相似自反的 SMn(R)上的相合关系都不是反对称的/付称的 传递的 定义5:设R是集合A上的一个二元关系 若R具有自反性,对称性传递性, 则称R为A上的一个等价关系
9 (4) , , , ( , ),( , ) , ( , ) , . a b c A a b b c R a c R R 对 若当 时 也有 则称 具有传递性 (3) , , ( , ),( , ) , , . a b A a b b a R b a R 对 若当 时 有 = 则称 是反对称的 " "; ( ) ; ( ) ; S ( ) , 7: m n n n n M R M R M R 上的 模 同余关系 上的相抵 上的相似 上的相合关系 例 R A . R , , , 5: . 则称 为 上的一个等价关系 若 具有自反性 对称性 传递性 定义 设R是集合A上的一个二元关系 都不是反对称的 , , . 自反的 对称的 都 传递的 是
等价:设R为集合A上的一个等价关系, 若(a,b)∈R,则称a与b关于R等价 等价类 对于va∈A记[al={b∈A且(a,b)∈R} 称为a关于R的等价类, 它是由所有与等价的元素组成 商集:A的关于R的所有等价类组成一个集合 记为A/R即A/R={[a]ka∈A 称集合A/R为A关于R的商集 exampe.Z=(modn=[OlI].,,In-1 是整数集关于模n的商集.0
10 ( , ) , . , 若 则称 与 关于 等价 设 为集合 上的一个等价关系 a b R a b R R A 它是由所有与 等价的元素组成。 称为 关于 的等价类， 对于 记 且 a a R a A, [a]R ={b b A (a,b) R} / . / / {[ ] } 称集合 为 关于 的商集 记为 即 的关于 的所有等价类组成一个集合 A R A R A R A R a a A A R = R 商集 : 等价类 : 等价 : / (mod ) {[0],[1], ,[ 1]} . n n n = − 是整数集关于模 的商集 exampe1: