1204 作业: 16522,26(2);P71(3),4,10 看书: f4-s,6-P2(复习,P23-P30 答疑时间:周二,周五下午3:30-5:30 地点:理学院数学楼1108室或大厅
1 看书： 54 58 66 73 73 80 P P P P P P − − − , ( ), 复习 答疑时间： 周二, 周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅 65 97 P P 22, 26(2) ; 1(3),4,10. 作业： 1204
§2-2CX]上的因式分解 古典代数学基本定理:任非常数复系数多项式 在复数域中总有一根 定理7 若degf=n,f(X)有根a∈C由零点定理 f=(X-a)f(X)其中 deg fi=n-1, 以此续行,知f(X)恰有n个复数根 定理8:复系数多项式f( X(deg f≥1)在复数域C 上总可以唯一分解为一次因式的乘积 f(X)=c(X-c1)"(X-c2)"…(X-c) (c∈C,∑n=n)
2 §2-2 C[X]上的因式分解 古典代数学基本定理: 任一非常数复系数多项式 在复数域中总有一根. 定理7 ( ) . ( ) ( ) deg 1, deg , ( ) 1 1 以此续行，知 恰有 个复数根 其中 若 有根 由零点定理 f X n f X a f X f n f n f X a C → = − = − = : 8 ( )(deg 1) 上总可以唯一分解为一次因式的乘积 定理 ：复系数多项式f X f 在复数域C ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 = = = − − − s i i i n s n n c c C n n f X c X c X c X c s
§2-3RⅨ上的因式分解 引理2:实系数多项式(X)的复根总是成共轭对 出现。若&是其根,则也是根。 设f(x)=anx"+…+a1x+a f(a=a,a"+.+a,a+ao=0 则f(a)=ana"+…+a2a+a =anO+…+a1a+ao=0. 又:(X-a)x-a)=x2-(a+a)x+aa∈R 在R上不可约,∴有
3 出现。 若 是其根 则 也是根。 引理 ：实系数多项式 的复根总是成共轭对 , 2 f (X ) ( ) 0 ( ) 1 0 1 0 = + + + = = + + + f a a a f x a x a x a n n n n 设 §2-3 R[X]上的因式分解 0. ( ) 1 0 1 0 = + + + = = + + + a a a f a a a n n n n 则 在 上不可约， 有 又 − − = − + + R (X )(x ) x ( )x R[X ] 2
又∵(X-a)(x-a)=x2-(a+a)x+aa∈R[X 在R上不可约,:有 定理10:实系数多项式f(X)(degf≥1) 在实数域上总可以唯一分解为一次和二次 不可约因子之积: f(X)=a(x-a1)4…(x-as) (x2-bx+c1)1…(x 2-b,x+ 如:实正交方阵的复特征值 cos0 -sin e (根)成共轭对出现 A SIn COS 6
4 定 理10：实 系 数 多 项 式 f X f ( ) (deg 1) 在 实 数 域 上 总 可 以 唯 一 分 解 为 一 次 和 二 次 不 可 约 因 子 之 积： t s e t t e n s n x b x c x b x c f X a x a x a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 1 1 − + − + = − − 在 上不可约， 有 又 − − = − + + R (X )(x ) x ( )x R[X ] 2 如:实正交方阵的复特征值 (根)成共轭对出现 cos sin sin cos A − =
§2-4多项式的根和系数的关系 Jiet定理: 设f(x)=anx"+an-1x …+a1x+aL 0 an(x-al 1)(x- 2 -Cl 则a1+a2+…+n C1C,+观1O2+…+an_1C C1…Cn1+…+c,…Cn=( Ca2 (-1)
5 §2-4 多项式的根和系数的关系. ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 n n n n n n a x x x f x a x a x a x a Vieta = − − − = + + + + − − 设 定理： n n n a a 1 1 2 − 则 + ++ = − n n n n a a 2 1 2 1 3 1 − + ++ − = n n n n a 1 a1 1 1 2 ( 1) − − ++ = − ( 1) . 0 1 2 n n n a a = −
fA(4)=27 =”+an12n+…+a12+ao =(-A1)(-2)…(-2) 则-(41+12+…+2,)=an1=-∑an=-mA (-1)122…1=a0=(-1)"detA
6 1 1 1 0 1 2 ( ) ( )( ) ( ) A n n n n f I A a a a − − = − = + + + + = − − − 1 2 1 1 ( ) n n n ii i a a trA − = 则 − + + + = = − = − 1 2 0 ( 1) ( 1) det . n n − = = − n a A 11 1 1 n n nn a a I A a a − − − = − −
Chapterll Linear space §1线性空间的定义及性质 (1+1)(+B)=a+f++B 左=(1+1)+(1+1)=a+a+B+B 得a+B+a+B=a+a+B+B 两边左加-a,右加-B, 得a+B=+a -B=+(-β)
7 ChapterIII Linear Space §1 线性空间的定义及性质 (1+1)( + ) = + + + −=+ (−) D + + + = + + + = + + + = + + + 得 左 (1 1) (1 1) . + = + − − 得 两边左加 ， 右加
定理33的证明 §2线性相关与线性无关 A1+…+1n=241=21(∑an) 2(4n)B存在不全为的 j=1i=1 使这m个系数全为0 ∑1a1=0 方程个数m时 有非零解 ∑入1am=0 推论:若…;则n≤m
8 §2 线性相关与线性无关 = + + = = = = = = = m j ji j n i i n i m j i ji j n i n n i i a a 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) = = = = n i i mi n i i i a a n m 1 1 1 0 0 当 时 有非零解。 方程个数 未知数个数 使这 个系数全为 。 存在不全为 的 0 0 m i 定理.3.3的证明 推论 若 则 : ; n m
两个等价的线性无关的向量组含有相同个 数的向量. §3基维数坐标 设G,…,En;nh,…,n是Vn(F)的两组基 12 (n,…,m)=(a,…“)?1e?2 2n 2 1
9 两个等价的线性无关的向量组含有相同个 数的向量. §3 基 维数 坐标 = n n n n n n n n n n n c c c c c c c c c V F 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) , , ; , , ( ) 设 是 的两组基 = = n i j ij i c 1 j n = 1,
这种记法满足: (1)[(e,,en)A]B=(e12…,n)AB (2)(e,…,en)A+(e,…,en)A=(e+e,…,n+en)A (3)(,…,en)(A+B)=(e,…,en)A+(en,…,n)B. 如P2上数第9行 y=(,…,En)X=(n,…n)Y=(E1,…,En)C)Y )CY 由唯一性知X=CY→Y=C1X
10 1 1 1 1 (2) ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n n n e e A e e A e e e e A + = + + 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) (( , , ) ) ( , , ) . n n n n X Y C Y CY X CY Y C X − = = = = 由唯一性知 = → = 72 如 上数第 行 P 9 这种记法满足： 1 1 (1) [( , , ) ] ( , , ) n n e e A B e e AB = 1 1 1 (3) ( , , )( ) ( , , ) ( , , ) . n n n e e A B e e A e e B + = +