《理工科代数基础》第一章 代数系统（1-3）代数系统

1202 作业:p3828.,30;p32,3,9 看书: 31 335139 答疑时间:周二周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅

1 看书： 31 33 39 44 P P P P − − , 答疑时间： 周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅 作业：p p 38 63 28, 30; 2, 3, 9. 1202

§1-3代数系统 定义10:设A,B是两个非空集合,f是A到B的 一个二元关系。若对Va∈A,都存在唯一的b∈B, 使得(a,b)∈f,则称f是从A到B的一个映射, 定义14:设A,B,C为三个集合,称从A×B 到C的一个映射为A与B到C的一个二元 代数运算,特别地,当A=B=C时, 称为A上的一个二元运算。 代数系统:带运算的集合,一般是自身上的运算, 有时,也和别的集合运算 如线性空间:数乘:FxV→V;加法:VxV→V

2 , , , A B C A B C A B C A B C A 定义14：设 为三个集合，称从  到 的一个映射为 与 到 的一个二元 代数运算 特别地，当 ＝ ＝ 时， 称为 上的一个二元运算。 : : ; : . , . , , 如线性空间 数乘 F V →V 加法 V V →V 有时 也和别的集合运算 代数系统：带 运算的集合 一般是自身上的运算 §1-3.代数系统 10 A B f A B a A b B a b f f A B     定义 ：设 ， 是两个非空集合， 是 到 的 一个二元关系。若对 ，都存在唯一的 ， 使得（ ， ） ，则称 是从 到 的一个映射

群:设G是非空集合,在G中定义了一个二元 运算米(即对G中任意a,b有G中唯一元素 (记为a*b)与之对应,且满足如下规律 (1)封闭性对任意a,b∈G,总有a米b∈G (2)结合律a*(b*C)=(a*b)*C(对任a,b,C∈G (3)(恒元)存在e∈G,使e*a=a对任a∈G (4)(逆元)对任a∈G,总存在b∈G,b*a=e (4)中的b称为a的逆,记为a 记为(G;*)()恒元也称为单位元 如果还有a*b=b*a,对任a,b∈G,则称 G为Abel群或交换群 Group

3 ( ) , : ( , : , 记为 与之对应 且满足如下规律 运算 即对 中任意 有 中唯一元素 群 设 是非空集合 在 中定义了一个二元 a b G a b G G G   (4)( ) , , . (3)( ) , . (2) . a ( ) (a ) ( , , ). (1) . , , . a G b G b a e e G e a a a G b c b c a b c G a b G a b G    =   =    =       逆元 对任 总存在 恒元 存在 使 对任 结合律 对任 封闭性 对任意 总有 记为(G;) (3) . (4) , 1 中恒元也称为单位元 中的 称为 的逆 记为 − b a a . , , , 为 群或交换群 如果还有 对任 则称 G Abel a b = ba a bG Group

例:(Z;+),(g;+),(R+),(C;+)均为Abel群 例2:线性空间是一个加法群Ⅴ(F 例3:n阶可逆方阵的全体(按通常矩阵的乘法) 是乘法群。称为一般线性群 eneral linear gro p简记为GLn(F) 而SLn(F)={A∈M(F)etA= 称为特殊线性群一一 Special linear group 定义中的恒元和逆元都是乘在左边的, 可以证明,乘在右边也有相同的性质。 即a*a=e,4*e=a

4 例1：(Z;+), (Q;+), (R;+), (C;+)均为Abel群. , . 1 即 a a ＝e a e＝a 可以证明，乘在右边也有相同的性质。 定义中的恒元和逆元都是乘在左边的， －   3 . 例 ：n阶可逆方阵的全体（按通常矩阵的乘法） 是乘法群。称为一般线性群 －－ 2 V (F) 例 ：线性空间是一个加法群 n ( ) ( ) det 1 n n SL F A M F A Special Linear group 而 ＝｛  ＝｝ 称为特殊线性群－－ ( ). n general linear group GL F 简记为

环:设R是一个集合,在R上定义了两个二元运算 分别记为加法(+)和乘法()且满足: (1)(R;+)是Abel群, (2)(R;)是半群,即满足封闭性和结合律 (3)分配律a(b+c)=aba·c (a+b)c=a·c+bc对va,b,c∈R 记为(R十,),加法恒元常记为0 例4:(z;十,)是环称为整数环(有单位元无逆元) 例5:n阶方阵的全体,按通常矩阵的加法和 乘法是环Mn(F)加法零元是0方阵, ring 乘法恒元为单位阵

5 R R 1 R; Abel 2 R; . 3 ( ) ( ) , , . (R; , ), 0. a b c a b a c a b c a c b c a b c R +  +           环：设 是一个集合，在 上定义了两个二元运算， 分别记为加法（ ）和乘法（ ）且满足： （ ）（ ）是 群， （ ）（ ）是半群，即满足封闭性和结合律 （ ）分配律 ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ 对 记为 ＋ 加法恒元常记为 例4 ( ; , ) , ( , ：Z ＋  是环 称为整数环。有单位元 无逆元） Ring 5 . ( ) 0 n n M F 例 ： 阶方阵的全体，按通常矩阵的加法和 乘法是环 加法零元是 方阵， 乘法恒元为单位阵

域:设F是有两个二元运算(+)和(…)的集合, 且满足: (1)(F+)是Abel群 Field (2)(F’;)是Abel群.F"指F的非0元全体。 (3)分配律 例6:Q,R,C对通常加法和乘法均是或 有理数域Q,实数域R,复数域C. 若F的子集合K对F中的原运算仍是一个域 称K为F的子域,而称为K的扩域 有理数域Q是最小的数域-是任意数域的子域

6 （ ）分配律。 （ ）（ 是 群 指 的非 元全体。 （）（ ＋ 是 群。 且满足： 域：设 是有两个二元运算（ ）和（ ）的集合， 3 2 F ; ) Abel . F F 0 1 F; ) Abel F    +  Field Q, R, C. 6 Q, R, C 有理数域 实数域 复数域 例 ： 对通常加法和乘法均是域 。 称 为 的子域，而 称为 的扩域。 若 的子集合 对 中的原运算仍是一个域， K F F K F K F 有理数域 是最小的数域 是任意数域的子域。 Q --

Chapter l Polynomial form §1-1基本概念与运算 定义1:(i)设F为一个域,X是不属于F的 任一个符号,则形如 Xn+a.,Xn1+…+a,X+ a.a.∈F 05 的表达式称为域F上的一个多项式形式 n称为其次数,a(=0,1…,m)称为其次系数, aX称为其次项。首项系数为的称为首1多项式 D (i)两个多项式形式相等=它们的次数和各同次 系数均相等。7

7 Chapter II Polynomial form . , 1 1 0 1 1 的表达式称为域 上的一个多项式形式 任一个符号，则形如 定义 ：（ ）设 为一个域， 是不属于 的 F a X a X a X a a F i F X F i n n n n + + + +  − −  §1- 1基本概念与运算 1 1 . ( 0,1, , ) , 称为其 次项。首项系数为的称为首 多项式 称为其次数， 称为其 次系数 a X i n a i n i i i i =  系数均相等。 两个多项式形式相等 它们的次数和各同次 D (ii) =

Degree次记degf=n 例:X可取为m阶方阵,∑a,A加法,乘法和数乘 0 按通常矩阵的加法,乘法和数乘进行。 例2:X可取为Vn(F)上的线性变换,∑a1 i=0 按线性变换的加法,乘法和数乘。 域F上多项式形式全体记为F[X], 系数为复数,实数和有理数分别记为 CIXI, RLX, QXI

8 Degree 次 记 deg f = n 0 1 n i i i X m a A = 例 ： 可取为 阶方阵， 加法,乘法和数乘 按通常矩阵的加法，乘法和数乘进行。 域F上多项式形式全体记为F[X], 系数为复数,实数和有理数分别记为 C[X], R[X], Q[X]. 0 2 n i n i i X V F a = 例 ： 可取为 （ ）上的线性变换 ， 按线性变换的加法,乘法和数乘

定理1:F[X按如下运算(加法和乘法)成为交换环 (称为多项式形式环) O aX+∑bX=∑(a+b) i=0 i=0 0 CaXC∑bX)=∑(∑ab)人 0 0 k=0 i+j=k Proof: 封闭性,结合律,有零元, (1)F[Ⅺ]对加法是Abel群,有负元,有交换律. (2)F[Ⅺ]对乘法是交换半群封闭性,结合律,交换律 (3)乘法对加法满足分配律

9 ( )( ) ( ) . ( ) 0 0 0 0 0 0         = + =  =  =  =  =  = = + = + k k i j k i j j j j i i i i i i i i i i i i i a X b X a b X a X b X a b X Proof: (1)F[X]对加法是Abel群, (2)F[X]对乘法是交换半群: (3)乘法对加法满足分配律. 封闭性,结合律,有零元, 有负元,有交换律. 封闭性,结合律,交换律 定理1: F[X]按如下运算(加法和乘法)成为交换环 (称为多项式形式环)

例如乘法结合律 ● ∑aX)∑bX)C∑c) ∑(∑ab1)X)C∠cX) =0计+j=k 1=0 ∑(∑(∑ab)c)X o k+l=m i+j=k ∑(∑abc)X m=0 i+j+l=m ∑a)∑(∑bc)X) i=0 k=0 i+l=k

10 例如乘法结合律 ( )( )( ) 0 0 0     =  =  = l l l j j j i i ai X b X c X ( ( ) )( ) 0 0     =  = + = = l l l k k i j k ai bj X c X     = + = + = = 0 ( ( ) ) m m l i j k i j k l m a b c X    = + + = = 0 ( ) m m l i j l m ai bj c X     = + =  = = 0 0 ( )( ( ) ) k k l j l k j i i ai X b c X