弯曲内力 典型习题解析 1作图示简支梁的剪力图和弯矩图,并求出|和Mm。 (d) (a) a4“4a Fs t 2qa x 题1图 解题分析:作剪力、弯矩图的基本方法是写出每一段梁上的剪力、弯矩方程,根据方程描点 作图。在能熟练地作剪力、弯矩图后,可采用如下简便作图法:在表中列出特殊截面(如有 位移约束的截面、集中力作用截面等的剪力、弯矩值,再根据载荷集度与剪力、弯矩之间的 微分关系判断各区段的内力图形状,连线相邻特殊截面对应的点。下面按两种方法分别作图。 解I:1、求支反力 F F 2、将梁分成AB、BC和CD三个区段 以A为原点,向右取x坐标。 AB段,如图d Fs= F=qa,(0<x<a)
弯曲内力 典型习题解析 1 作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并求出 S max F 和 max M 。 解题分析：作剪力、弯矩图的基本方法是写出每一段梁上的剪力、弯矩方程，根据方程描点 作图。在能熟练地作剪力、弯矩图后，可采用如下简便作图法：在表中列出特殊截面（如有 位移约束的截面、集中力作用截面等的剪力、弯矩值，再根据载荷集度与剪力、弯矩之间的 微分关系判断各区段的内力图形状，连线相邻特殊截面对应的点。下面按两种方法分别作图。 解 I：1、求支反力 FAy = qa ， FCy = 2qa 2、将梁分成 AB、BC 和 CD 三个区段 以 A 为原点，向右取 x 坐标。 AB 段，如图 d： FS = FAy = qa ，( 0 < x < a ) Fs (+) (-) (+) 2qa qa qa 3qa2 /2 qa2 x x M (c) (b) (a) q FDy D C F=qa A M a B a FAy a A (d) x FAy (e) q B x FAy A M FS FS F=qa q FS M A (f) B C FAy x q 题 1 图 1
M=Fx=qax,(0≤x≤a) BC段,如图 F=F-q×(x-a)=q(2a-x),(a<x<2a) M=Fx+q(x-a(x-an2=q(x+an2,(asxs 2a) CD段,如图f: Fs=FAx -qx(x-a)-F=ga-x),(2a< x<3a) M=Fx+qlx-a(x-am2=g(x+a)2,(2a s x s 3a) 3、按照步骤2所得各段梁的剪力、弯矩方程画出剪力图和弯矩图,如图b和图c。 4、计算剪力和弯矩的最大值 FsImax=2qa, MImax==qa 解Ⅱ:1、计算支反力 2、将梁分为AB、BC、CD三个区段,计算每个区段起点和终点的力值 力区 AB CD 起终点 A右 B左 C F qa -2q 3 3、根据载荷情况及微分关系,判断各力区的内力图形状,并以相应的图线连接起来, 得到剪力图和弯矩图。 力区A截面ABB截面 C截面 CD D截面 载荷F小向上q=0无集中力q负常数F向下q负常数F向上 Fs突跳F水平()连续下斜线什)突减F下斜线)突跳FDp 上斜线相切上凸抛物线转折上凸抛物线 4、计算剪力弯矩最大值 M 讨论:利用剪力弯矩方程作图时,注意坐标轴x的正向一般由左至右。有时候根据需要,可
M F x qax = Ay = ，( 0 ≤ x ≤ a ) BC 段，如图 e： ( ) (2 ) S F F q x a q a x = Ay − × − = − ，( a < x < 2a ) ( )( )/2 ( )/2 2 2 M F x q x a x a q x a = Ay + − − = + ，( a ≤ x ≤ 2a ) CD 段，如图 f： ( ) ( ) S F F q x a F q a x = Ay − × − − = − ，( 2a < x < 3a ) ( )( )/2 ( )/2 2 2 M F x q x a x a q x a = Ay + − − = + ，( 2a ≤ x ≤ 3a ) 3、按照步骤 2 所得各段梁的剪力、弯矩方程画出剪力图和弯矩图，如图 b 和图 c。 4、计算剪力和弯矩的最大值 F 2qa S max = ， 2 max 2 3 M = qa 解 II：1、计算支反力 FAy = qa ， FCy = 2qa 2、将梁分为 AB、BC、CD 三个区段，计算每个区段起点和终点的力值。 力区 AB BC CD 起终点 A右 B左 B右 C左 C右 D左 FS qa qa qa 0 - qa -2 qa M 0 2 qa 2 qa 2 2 3 qa 2 2 3 qa 0 3、根据载荷情况及微分关系，判断各力区的内力图形状，并以相应的图线连接起来， 得到剪力图和弯矩图。 力区 A 截面 AB B 截面 BC C 截面 CD D 截面 载荷 FAy向上 q=0 无集中力 q=负常数 F 向下 q=负常数 FDy向上 FS 突跳FAy 水平(+) 连续 下斜线(+) 突减 F 下斜线(-) 突跳FDy M 0 上斜线 相切 上凸抛物线 转折 上凸抛物线 0 4、计算剪力弯矩最大值 F 2qa S max = ， 2 max 2 3 M = qa 讨论：利用剪力弯矩方程作图时，注意坐标轴x的正向一般由左至右。有时候根据需要，可 2
以取为由右至左,但此时必须注意q,Fs和M之间的微分关系在正负号上有变化 2作图示梁的剪力图和弯矩图 (+) 题2图 解题分析:不分段列剪力、弯矩方程,只计算特殊截面处的剪力、弯矩值,根据规律连线。 解:1、求支反力 3 4 2、计算特殊截面剪力值 将梁分为三个区段计算每个截面的F值。集中力作用截面的左、右两侧F值不同。 Fs左=0,Fs4右=元qa FsB左4 SC左 C右=q 3、计算特殊截面弯矩值 计算前述特殊截面处的M值。集中力偶作用截面的左、右两侧的M值不同 M=O
以取为由右至左，但此时必须注意q，FS和M之间的微分关系在正负号上有变化。 2 作图示梁的剪力图和弯矩图。 qa2 q 解题分析：不分段列剪力、弯矩方程，只计算特殊截面处的剪力、弯矩值，根据规律连线。 解：1、求支反力 FAy qa FCy qa 5 4 , 4 3 = = 2、计算特殊截面剪力值 将梁分为三个区段计算每个截面的 FS 值。集中力作用截面的左、右两侧 FS 值不同。 F F qa A A 4 3 0 S 左 = ， S 右 = F qa F qa B B 4 1 4 3 S 左 = ， S 右 = − F qa F qa SC左 = − ， SC右 = 4 1 FSD = 0 3、计算特殊截面弯矩值 计算前述特殊截面处的 M 值。集中力偶作用截面的左、右两侧的 M 值不同。 M A = 0 2 2 4 1 4 3 M qa M qa B左 = ， B右 = − (-) qa2 2 4 1 qa 1 2 FS 3 qa 4 4 qa 1 (+) FCy B C a a x (-) qa qa2 (+) 4 3 (+) x FAy M a A D 题 2 图 3
Mc=iqa M CD段是二次抛物线,抛物线上有极值时应求出 4、计算最大剪力和弯矩值 K==9,|M=3m2 讨论:采用上述作图法不能遗漏代表点,包括载荷变化点、约束点。计算极值弯矩时,可以 先找出该区段剪力为零的截面,该截面处的弯矩即为极值弯矩。也可以借助该区段的弯矩方 程计算极值。 3作图示梁的剪力图和弯矩图,并求出Fs及Mm,B处是中间铰 解题分析:梁上有中间铰时,先自铰处将梁拆分。中 间铰可以传递力,但不能传递弯矩,所以中间铰处弯 矩一定为零。 解:1、求支反力 在中间铰B处将梁拆开两部分,铰处互相作用 力用FB代替,如图b所示。 2、将梁分为AB、BC、CD三个区段,计算A、Fs B、C、D截面处的内力值。 3、根据载荷集度与剪力、弯矩之间的微分关系, 判断各区段的内力图形状,并用图线连接。 4、CD段剪力有零点,根据左负右正,判断弯矩My2 图有极小值 令(x)=490-9qx=0,得x=4a,代入弯 矩方程 题3图 M(x)=-FD×a+q 5、计算最大剪力、弯矩值
2 2 1 M C = − qa M D = 0 CD 段是二次抛物线，抛物线上有极值时应求出。 4、计算最大剪力和弯矩值 F = qa S max ， 2 max 4 3 M = qa 讨论：采用上述作图法不能遗漏代表点，包括载荷变化点、约束点。计算极值弯矩时，可以 先找出该区段剪力为零的截面，该截面处的弯矩即为极值弯矩。也可以借助该区段的弯矩方 程计算极值。 3 作图示梁的剪力图和弯矩图，并求出 S max F 及 max 析：梁上有中间铰时 M ，B 处是中间铰。 解题分 ，先自铰处将梁拆分。中 矩一定为零。 解： 1、求支反力 3 qa2 间铰可以传递力，但不能传递弯矩，所以中间铰处弯 在中间铰 B 处将梁拆开两部分，铰处互相作用 力用 FBy 代替，如图 b 所示。 2 4 7 , 4 7 , 1 F qa FAy = FBy = qa 4 Dy = M A = qa 2、将梁分为 AB、BC、CD 三个区段，计算 A B、C D 截面处的内力值。 3、 集度与剪力、弯矩之间的微分关系， 4、CD 段剪力有零点，根据左负右正，判断弯矩 图有极小值。 、 、 根据载荷 判断各区段的内力图形状，并用图线连接。 令 0 4 1 ( ) S F x = qa − qx = ，得 x a 4 1 = ，代入弯 矩方程 2 2 32 1 ) 4 ( 2 1 4 1 ( ) qa a M x = −FD × a + q = 5、计算最大剪力、弯矩值 F qa 4 S max = ， 7 2 max 4 M = 7 qa a a a (a) B C Me= q 2 A D FDy MA F q By Me (b) FAy x FBy 7 4 FS x 4 qa 1 4 (d) 32 qa 5 2 qa 2 1 qa 7 2 M 4 qa 4 1 2 (c) 4 qa x 3 qa 题 3 图 4
4试作图示梁的剪力图和弯矩图 B (+) 14 (+) 解题分析:对于三角形分布载荷,先列出q(x)和q的关系,再列出剪力、弯矩方程。结构和 载荷均对称时,弯矩图对称,剪力图反对称。所以,只须取左半边作图,然后根据上述对称 反对称关系,画出另一半剪力、弯矩图。 解:1、求支反力 2、列F。、M方程 ks()=490-aq(xx=4904-4010<x<2) 11(x)=q0kx-q(x) 40 q0 处M为极大值 a90 3、作F、M图 AB段,F图为二次抛物线,M图为三次抛物线。 BC段,F图与AB段反对称,M图与AB段对称 算最大剪力弯矩值
4 试作图示梁的剪力图和弯矩图 解题分析：对于三角形 ( ) q0的关系，再列出剪力、弯矩方程。结构和 载荷均对称时，弯矩图对称，剪力图反对称。所以，只须取左半边作图，然后根据上述对称 解： 1、求支反力 分布载荷，先列出q x 和 反对称关系，画出另一半剪力、弯矩图。 F F q l Ay = Cy = 0 4 1 2、列 FS 、 M 方程 l x q(x = q0 2 ) ) 2 (0 4 1 ( ) 2 1 4 1 ( ) 2 0 0 0 S1 l − l x l x F x = q q x x = q l − q < < ) 2 l (0 2 3 4 3 ( ) 4 1 ( ) 0 0 3 1 0 x x l q lx x x q M x = q lx − q x ⋅ = − ≤ ≤ 2 l x = 处 M 为极大值。 2 0 0 3 ( ) ( ) 1 l q l M max = 0l − 12 1 4 2 3 2 q l l q = 3、作 FS 、 M 图 AB 段， FS 图为二次抛物线， M 图为三次抛物线。 BC 段， FS 图与 AB 段反对称， M 图与 AB 段对称。 4、计算最大剪力弯矩值 q0l/4 l/2 FAy l/2 B x A FCy C q(x) q0 (+) q0l 2 /12 (+) (-) 题 4 q0l/4 图 5
Fs max 5作图示刚架的内力图 Ga N 1a/2 (-)|(F)( 题5图 解题分析:刚架有中间铰,自铰处拆开,先求支反力,然后根据对称规律作剪力、弯矩图。 铰处无集中载荷时,铰两侧轴力、剪力图连续,弯矩为零。 解:1、求支反力 由于对称F1=Fby=qa 在C铰处拆开,得 F 、作F图 AB力区,FN=-q,直线 BC,CD力区,FN=-,直线 DE力区,FN=-qa,直线 作Fs图 AB力区,q=0,F=-直线
4 0 q l = S max F ， 1 2 M = q l max 0 12 5 作图示刚架的内力图 C 铰处拆开，得： 解题分析：刚架有中间铰，自铰处拆开，先求支反力，然后根据对称规律作剪力、弯矩图。 铰处无集中载荷时，铰两侧轴力、剪力图连续，弯矩为零。 解：1、求支反力 由于对称 FAy = FEy = qa 在 Ax FEx qa F = = 4 2、作 FN 图 AB 力区， 直线； ， 区， FN = −qa ， BC CD 力 4 N qa F = − ，直线； 力区， ，直线。 3、 DE FN = −qa 作 FS 图 AB 力区， q = 0 ， 4 S qa F = − 直线 C B D qa2 /2 D C D C B B FCx FAx 2a F FEy Ay qa A E FEx B C D a a FAx FAy qa2 /2 A ( ) A 题 5 图 E A /4 qa -) ( (F -) (-) (F qa/4 qa/4 A E M) qa qa 2 /2 B C FCy q ( ( S) N) + qa E qa qa 6
BD力区,q等于负常数,F图为斜线,|Fsm=q DE力区,q=0,F=直线 4、作M图 AB力区,F为负常数,M图为斜线 BC力区,F为斜线,正值,M图为二次抛物线,C处M值等于零。 CD力区,F为斜线,负值,M图为二次抛物线。 DE力区,F为正常数,M图为斜线。M=92 讨论:作刚架内力图时充分利用刚架的几何对称性、载荷的对称性或反对称性可以大大降低 工作量
BD 力区， q 等于负常数， FS 图为斜线， F = qa S max DE 力区， q = 0 ， 4 S qa F = 直线 4、作 M 图 AB 力区， FS 为负常数， M 图为斜线。 BC 力区， FS 为斜线，正值， M 图为二次抛物线，C 处 M 值等于零。 CD 力区， FS 为斜线，负值， M 图为二次抛物线。 2 2 DE 力区， FS 为正常数， M 图为斜线。 max M = 。 qa 讨论：作 称性或反对称性可以大大降低 工作量。 刚架内力图时充分利用刚架的几何对称性、载荷的对 7