弯曲变形 典型习题解析 1试用积分法写出图示梁的挠曲轴方程,说明用什么条件决定方程中积分常数,画出挠曲 轴大致形状。图中C为中间铰。EI为已知 解题分析:梁上中间铰处,左、右挠度相等,转角 不相等。 解:设支反力为FAy、 M AFB,如图示 1、建立各段挠曲轴近似微分方程并积分 题1图 将梁分为AC、CB、BD段 AC段0≤x1≤a 挠曲轴近似微分方程EIw= MA-FAr.1 转角方程Ev1=M4x1-4+C1 挠度方程Em1=MAx12FAx CIX,+ Dy (b) CB段a≤x2≤(a+b) 挠曲轴近似微分方程E/v2=MA-FAyx2 转角方程Elv2=MAx2 挠度方程E|2=4x2.F4x3+C22+D2 BD段(a+b)≤x3≤l 挠曲轴近似微分方程E=MA-FAx+FB,x3-(a+b 转角方程E1m=MAx1-Fnx,F-+2+C 挠度方程E13=M1xi-nx3,Fb-(+b +C3x3+D3( 2、确定积分常数 共有C1、D1、C2、D2、C3、D36个积分常数。需要6个位移边界条件和光滑连续条 件
弯曲变形 典型习题解析 1 试用积分法写出图示梁的挠曲轴方程，说明用什么条件决定方程中积分常数，画出挠曲 轴大致形状。图中 C 为中间铰。 E I 为已知。 w 解题分析：梁上中间铰处，左、右挠度相等，转角 不相等。 解：设支反力为 F A y 、M A、F B y ，如图示。 1、建立各段挠曲轴近似微分方程并积分 将梁分为 AC、CB、BD 段。 AC 段 0 ≤ x 1 ≤ a 挠曲轴近似微分方程 1 1 E I w M F x A A y ′′ = − ⋅ 转角方程 1 2 1 1 ' 1 2 C F x E I w M x A y = A − + (a) 挠度方程 1 1 1 3 1 2 1 1 2 6 C x D M x F x E I w A A y = − + + (b) CB 段 ( ) a ≤ x 2 ≤ a + b 挠曲轴近似微分方程 2 " 2 E I w M F x A A y = − ⋅ 转角方程 2 2 2 2 2 2 C F x E I w M x A y ′ = A − + (c) 挠度方程 2 2 2 3 2 2 2 2 2 6 C x D M x F x E I w A A y = − + + (d) BD 段 a + b ≤ x ≤ l 3 ( ) 挠曲轴近似微分方程 [ ( )] 3 3 3 E I w M F x F x a b ′′ = A − A y + B y − + 转角方程 [ ] 3 2 3 2 3 3 3 2 ( ) 2 C F x F x a b E I w M x A y B y A + − + ′ = − + (e) 挠度方程 [ ] 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 6 ( ) 2 6 C x D M x F x F x a b E I w A A y B y + + − + = − + (f) 2、确定积分常数 共有 6 个积分常数。需要 6 个位移边界条件和光滑连续条 件。 C1 、D1、C2、D2、C3、D3 题 1 图 FAy l A B C b F MA D x a FBy 1
边界条件:x1=0,w1=0代入(b)得D1=0 1=0代入(a)得C1=0 (h 连续条件 (k) 联立(1)、()、(k)、(D),可求出C2、D2、C3、D3 3、画挠曲轴大致形状 C为中间铰,挠曲轴在C处必有拐点,A处弯矩为正,AC段为下凸上凹曲线,CD段 在D处有向下的力,对梁段产生负弯矩,CD段为上凸下凹的曲线。 2AB梁的EⅠ为已知。试用叠加法,求梁中间截面挠度。 解题分析:将三角形分布载荷视为均布载荷的一半,利↓ 用叠加法即可求中点挠度。若求某截面转角,还要用积 分法 解:1、求支反力 题2图 2、计算C点挠度 将三角形分布载荷看成载荷集度为φo的均布载荷的一半。查表知均布载荷中间截面挠 度为 5q0 384E,三角形载荷梁中间挠度为 Mc=-1 2384EI768EI 3试用叠加法求图示梁C截面挠度,EI为已知
边界条件： 0 ， 代入(b)得 x1 = w1 = 0 D1 = 0 (g) 0 ' w1 = 代入(a)得 C1 = 0 (h) x2 = a + b ， w2 = 0 (i) 连续条件： x = x = a ， 1 2 w1 = w2 (j) x2 = x3 = a + b ， w2 w3 ′ = ′ (k) w2 = w3 (l) 联立(i)、(j)、(k)、(l)，可求出C2、D2、C3、D3 。 3、画挠曲轴大致形状 C 为中间铰，挠曲轴在 C 处必有拐点，A 处弯矩为正，AC 段为下凸上凹曲线，CD 段 在 D 处有向下的力，对梁段产生负弯矩，CD 段为上凸下凹的曲线。 2 AB 梁的 E I 为已知。试用叠加法，求梁中间截面挠度。 解题分析：将三角形分布载荷视为均布载荷的一半，利 w 用叠加法即可求中点挠度。若求某截面转角，还要用积 分法。 q0 B A 解：1、求支反力 3 , 6 0 0 q l F q l FA y = B y = 2、计算 C 点挠度 将三角形分布载荷看成载荷集度为 的均布载荷的一半。查表知均布载荷中间截面挠 度为 q0 E I q l 384 5 4 0 ，三角形载荷梁中间挠度为 = − × = − (↓) E I q l E I q l wC 768 5 384 5 2 1 4 0 4 0 3 试用叠加法求图示梁 C 截面挠度， E I 为已知。 FAy FBy 题 2 图 l C x 2
易z (d) 题3图 解题分析:首先将外伸端上的分布力简化到支座B,得到一等效集中力F=ql和集中力 12 偶MB=16 如图b所示。集中力F作用在支座上,不会引起AB梁段的变形。将均布力 q看作为图c和图d所示两种情况的叠加。在图c中,再将载荷分解为集度为%的均布载 荷和右端点受集中力偶MB两种情况。在图d中,由于载荷反对称,故中点C处挠度为零 解:查表叠加可得C截面挠度为 924 384E 16EI 384EI 4变截面悬臂梁如图所示,试用叠加法求自由端的挠度wc MB=Fl2 (c) 题4图 解题分析:此题用逐段刚化法求解,被刚化的梁段只有位移无变形 解:1、首先将AB梁段刚化,BC段看为变形弹性体。此时B处的转角和挠度为零如图b所 3E2 2、将BC段刚化,AB段看作弹性体,把力简化到B截面,其等效力为集中力F和力偶
q 解题分析：首先将外伸端上的分布力简化到支座 B ，得到一等效集中力 F q l 4 1 = 和集中力 偶 16 2 q l M B = ，如图 b 所示。集中力 F 作用在支座上，不会引起 AB 梁段的变形。将均布力 q 看作为图 c 和图 d 所示两种情况的叠加。在图 c 中，再将载荷分解为集度为 2 q 的均布载 荷和右端点受集中力偶 MB 两种情况。在图 d 中，由于载荷反对称，故中点 C 处挠度为零。 解：查表叠加可得 C 截面挠度为 = (↓) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = E I q l E I l q l E I l q wC 16 384 16 384 2 5 4 2 2 4 4 变截面悬臂梁如图所示，试用叠加法求自由端的挠度 wC 。 解题分析：此题用逐段刚化法求解，被刚化的梁段只有位移无变形。 解：1、首先将 AB 梁段刚化，BC 段看为变形弹性体。此时 B 处的转角和挠度为零如图 b 所 示。则 2 2 2 1 3E I F l wC = − 。 2、将 BC 段刚化，AB 段看作弹性体，把力简化到 B 截面，其等效力为集中力 F 和力偶 B A F EI2 EI1 A C B (a) (b) (c) 题 4 图 l1 l2 C F B C F MB=Fl2 B EI C B (a) q F=ql/4 A q/2 EI MB l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 题 3 图 MB=ql2 /16 q/2 (d) A q/2 C B (c) D A q/2 C B A C (b) 3
l2如图c所示。 在F力作用下,B截面挠度、转角为:wBF 在M作用下,B截面挠度、转角为:w=-(),OB=-F1 由于BC段为刚体,所以在F、M作用下引起C处的挠度为 以及va3=(2+2M2 3、叠加求wc Fr2 Fl FIil2 F7175 Wc=Wcl t Wc2 + Wc3 BE12 3EI El EI 5多跨静定梁如图所示,试求力作用点E处的挠度wg 解题分析:此题用梁分解方法求解,中间铰处拆开后,对左段梁和右段梁的作用力和反作用 力按外力处理。 F12 题5图 解:将结构拆成三部分,分析每部分受力情况,研究其变形,最后用叠加法求解 1、求图b中B点挠度wB 3EI 2、求图c中E点挠度wE1 F(21)FP3 3、求图d中C点挠度wc: 2)2 Fr 3E 6El 、求E点总挠度 +vc)+wE≈、SFP3 2E/
2 M = F l 如图 c 所示。 在 F 力作用下，B 截面挠度、转角为： 1 2 1 3 2 , 3 E I F l E I F l wB F = − θ B F = − 在 M 作用下，B 截面挠度、转角为： ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 , 2 E I F l l E I F l l wB M = − θ B M = − 由于 BC 段为刚体，所以在 F、M 作用下引起 C 处的挠度为 wC2 = wB F + wB M 以及 ( ) 3 2 w l C = θ B F + θ B M 3、叠加求 wC 1 2 1 2 1 2 2 1 1 3 1 2 3 2 1 2 3 3 3 E I F l l E I F l l E I F l E I F l wC = wC + wC + wC = − − − − 5 多跨静定梁如图所示，试求力作用点 E 处的挠度 wE 。 解题分析：此题用梁分解方法求解，中间铰处拆开后，对左段梁和右段梁的作用力和反作用 力按外力处理。 解：将结构拆成三部分，分析每部分受力情况，研究其变形，最后用叠加法求解。 1、求图 b 中 B 点挠度 ： wB ( )( ) E I F l E I F l wB 2 9 3 3 2 3 3 = − = − 2、求图 c 中 E 点挠度 ： wE1 ( ) E I F l E I F l wE 48 6 2 3 3 1 = − = − 3、求图 d 中 C 点挠度 ： wC ( ) E I F l E I F l wC 3 6 2 3 3 = − = − 4、求 E 点总挠度： ( ) E I F l wE wB wC wE 2 5 2 1 3 = + + 1 = − 题 5 图 l C A B 3l B C l (c) F/2 F/2 E l (b) (d) F 3l l l l (a) F/2 F/2 D A B F D E C 4
6图示简支梁AB,在中点处加一弹簧支撑,若使梁的C截面处弯矩为零,试求弹簧常量k, 并绘出梁的剪力图和弯矩图。 解题分析:利用梁C处挠度等于弹簧压缩变形,来确定弹簧分 常量k 解:1、求支反力 (a) 设C支座对弹簧的反力为F,A、B处反力分别为 FAy和FB3y,方向如图所示。根据对称关系,FAy FBy。在C截面将梁切开,因为C处弯矩为零,则在C 截面左侧有M=F,1-q12=0,所以 题6图 F=F By 由平衡方程∑F,=0,即Fy+FBy+Fy-2ql=0,得Fy=ql。 2、用叠加法求C点的挠度 5q(2n) Fc,(21)q/4 Wc=Wcq-WCEcy384EI 48EI 24E 3、确定弹簧常量 梁在C点的挠度就等于弹簧的压缩变形,即 k,于是得k=c=24E1 Cy 4、画剪力、弯矩图:见图b、图c
6 图示简支梁 AB，在中点处加一弹簧支撑，若使梁的 C 截面处弯矩为零，试求弹簧常量 k， 并绘出梁的剪力图和弯矩图。 支座对弹簧的反力为 ，A、B 处反力分别为 和 ，方向如图所示。根据对称关系， ＝ 。在 C 截面将梁切开，因为 C 处弯矩为零，则在 C 截面左侧有 解题分析：利用梁 C 处挠度等于弹簧压缩变形，来确定弹簧 常量 k。 解：1、求支反力 设 C FC y FA y FB y FA y FB y 0 2 1 2 M − = FA yl − ql = C ，所以 F F ql A y B y 2 1 = = 。 由平衡方程 ，即 ，得 2、用叠加法求 C 点的挠度 ∑ = 0 Fy FA y + FB y + FC y − 2q l = 0 F q l C y = 。 ( ) ( ) E I q l E I F l E I C C q C FC y 384 q l w w w C y 48 24 5 2 2 4 3 4 = − = − = 3、确定弹簧常量 梁在 C 点的挠度就等于弹簧的压缩变形，即 k FC y wC = ，于是得 3 wC l F 24E I k C = = 4、画剪力、弯矩图：见图 b、图 c。 (a) q A C B 题 6 图 FAy l l FBy Cy EI F (b) ql2 /8 ql/2 ql/2 ql / ql2 /8 /2 ql 2 (c) 5
