1105 作业 P。9.12.17.18.19 看书 80 90 答疑时间:周二,周五下午3:30-5:30 地点:理学院数学楼1108室或大厅
1 看书： P P 80 90 − 答疑时间: 周二, 周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅 P98 9, 12, 17, 18, 19. 作业： 1105
§4-2子空间的运算 定义8:设W1,W2是Vn(F)的两个子空间, ∩W2={ala∈1,a∈W2}称为W1与W2的交 W1+W2={a=a1+a2a1∈W1,a2∈W2} 称为W1与W2的和 exp1:在V3(R)中,W1表x轴,W2为oyz平面. 那么W1∩W2={0},W1+W2=V3(R) exp2:在V3(R)中,W表oxy平面,W2表oyz平面 则W∩W2=y轴,W1+W2=V3(R)
2 §4-2 子空间的运算 . { , } { , } . 8 , ( ) , 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 称为 与 的和 称为 与 的交 定义 ：设 是 的两个子空间 W W W W W W W W W W W W W W Vn F + = = + = {0}, ( ). exp1: ( ) . 1 2 1 2 3 3 1 2 W W W W V R V R W x W oyz 那么 = + = 在 中， 表 轴， 为 平面 , ( ). exp 2 : ( ) . 1 2 1 2 3 3 1 2 W W y W W V R V R W oxy W oyz 则 = 轴 + = 在 中， 表 平面， 表 平面
命题2:设W=,W2≤B,…B>则 W1+W2=L(x1;…,a3,B,…,B,) 任α∈右,有 =∑入11+21B 1)0(2) eW,(2)∈W2,∴∈W+W2:右s左 而任a∈左有a=少+a2且al∈W,∈W2 a4+a可由a…;ay,B2…,B线性表出, a∈右,∴左c右,∴左=右 Vn(F)=1,…,n>+…十<En
3 右 左 任 右 有 + = + = + = = (1) 1 (2) 2 1 2 (1) (2) 1 1 , , , : , W W W W proof t i i i s i i i . , , , , , , , 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 右， 左 右， 左 右 可由 线性表出， 而任 左 有 且 = + = + s t W W Vn (F) = 1 , ,n = 1 ++ n 1 1 2 1 1 2 1 1 , , , , , , ( , , , , , ). s t s t W W W W L = = + = 命题2：设 则
定理12(维数公式) dimW+dimW2=dm(W+W)+dm(W∩形) p0OC:设dmW=r,dmW2=,dm(W∩W2)= 是W∩W,的基, 把它扩充为W的基a12…,a,B1…,B; 把它扩充为2的基a(,…,a,"4…,y要证 a1,…,a,B1…,月,y1,…,y恰为W+W的基 设1+…11++B21+…+,月 δ∈W+ t+1t+1 ∴ y S/ S 0,(1) δ∈W 2
4 dim dim dim( ) dim( ) 12 W1 + W2 = W1 +W2 + W1 W2 定理 （维数公式） , , , , ; , , : dim , dim ,dim ( ) . 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 t t r t W W W proof W r W s W W t + = = = 把它扩充为 的基 ， 是 的基， 设 , , , , , . W2 1 t t 1 s 把它扩充为 的基 + − W2 W1 0, (1) , , , , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + + + = + + + + + + + + + + + t t s s t t t t r r t t r t s W W 设 ， ， 恰为 的基 要证
δ∈W∩W2,故存在p41…,A使 8=/1C1+…+Ot=- t+1t+1 13s 而 t+15 y为W2的基, 线性无关。→>得=0,i=1,…,s, 特别1=…=4=0,代回(1)式中 又由a1,…,a,B1,…,B,线性无关得: λ=0,i=1,…,于是得 1,B1,…,B, r:/t+19 ,y线性无关 dim W,+dim W2=dim(W,+W2)+dim(W,nw2)
5 t t t t s s W W t = + + = − − − + + 1 1 1 1 1 2 1 , 故存在 , , 使 0, 1, , , , , , , , , 1 1 2 i s W i t t s → = = + 线性无关。 得 而 为 的基 0, (1) , 特别t+1 == s = 代回 式中 dim dim dim( ) dim( ). , , , , , , , , 0, 1, , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 W W W W W W i r t t r t s i t t r + = + + = = + + + 线性无关 于是得 又由 线性无关得：
例9:W 0x,y∈R,基为 XX 00 00八(10 W x y x,y=∈R,基为10 01Y/0-0 0八(00八(0 e es W+W2=L(日,2,e3,e4,e3) =D(e1,e2,e4,e5)=M2(R.:e=6-e4+e2 k(4+e)=(+e),W∩W1=6/1 10 ab)∈M(/ab C ic d =aler-e)tbea+ ce2 des =(0e1+ce2)+(b-a)4+de;)=01+2
6 . 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 { , , }, ; 1 0 0 0 0 0 1 1 , }, 0 19 { 2 1 = = 基为 例 ： 基为 x y z R x z x y W x y R y x x W 1 2 4 5 2 3 1 4 2 1 2 1 2 3 4 5 ( , , , ) ( ). ( , , , , ) L e e e e M R e e e e W W L e e e e e = = = − + + = 1 2 3 4 1 2 1 1 ( ) ( ), 1 0 k e e k e e W W k + = + = 1 2 4 5 1 2 2 1 4 4 2 5 ( ) (( ) ) ( ), ( ) = + + − + = + = − + + + ae ce b a e de a e e be ce de c d a b M R c d a b e1 e2 e3 e4 e5
54-3子空间的直和 定义9:设W1,W2是Vn(F)的子空间 如果W∩W2={0},则称W+W2为子空间W 与W的直和,记为WW2 定理:设W,W2是Vn(F)的子空间W=W1+W2, 则以下4个命题等价:(1)W1∩形2={0}; (2)dim(w)=dim(wi)+dim(w2); (3)任α∈W,=1+a2,Ox1∈W,O2∈W2 分解式唯 (4)0表为W与W中元素和的方法唯 即0=0+0
7 §4- 3 子空间的直和 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9: , ( ) , 0 , , . W W V F n W W W W W W W W = + 定义 设 是 的子空间 如果 则称 为子空间 与 的直和 记为 4 : : , ( ) , , 1 2 1 2 则以下 个命题等价 定理 设W W 是Vn F 的子空间 W = W +W 0 0 0. (4)0 ; (3) , , , (2)dim( ) dim( ) dim( ); (1) {0} ; 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 = + = + = + = 即 表为 与 中元素和的方法唯一， 分解式唯一 任 W W W W W W W W W W
poof:(1)→(2)由维数公式立得dmnW1∩W2=0 2→(3,设dinW=r,dmW2=m,则 dinW=r+m,取W的基a1,…,Or, W2的基β1,…,βn则 V= 2>a∈W1 =a +a 2> 唯 2∈W, (3)→(4)∵Y∈W,表为W与W中元素和的 方法唯一,∴0向量的分解式唯
8 :(1) (2), dim 0, proof 由维数公式立得， W1 W2 = 的基 则 取 的基 （） 设 则 m r W W r m W W r W m = + = = , , dim , , , , 2 (3), dim , dim , 2 1 1 1 1 2 0 . (3) (4) , 1 2 方法唯一， 向量的分解式唯一 表为 与 中元素和的 W W W , , , , , , , , . , , , , , , dim , 1 1 1 1 任 在此基下坐标唯一 线性无关 为 的基 且 W W W W r m r m r m = = + 唯一 2 2 1 1 1 2 1 1 , W W x x m i r i i r i i i = + = + = + =
(4)→(1)若W∩W2≠{0},则 日a(≠0)∈W∩W2,于是 0=a+(-a)=0+0, 则0的分解式不唯一,矛盾 必W∩形2={0},即W=WW2 命题 W∩W2={0}分至少有一个a∈W a=C1+cn,c∈W,c,∈W分解式唯 *若W是Vn(F)的子空间,怎么样去找 Vn(F)的子空间W,使V=WW2
9 ( ) , ( ) , ( ) ( ) { }, 0 0 0 0 4 1 0 1 2 1 2 = + − = + 于是 若 则 W W W W { }, . . 1 2 0 1 2 0 必W W = 即W =W W 则 的分解式不唯一，矛盾 1 2 1 2 1 1 2 2 {0} , , , . W W W W W = = + 至少有一个 分解式唯一 命题( ) , . ( ) 2 1 2 1 V F W V W W W V F n n = 的子空间 使 若 是 的子空间，怎么样去找
从W选基a…an’扩充为空间V(F)基 ,则W2=< W2称为W在Vn(F中的补子空间 ⊥ (其不唯一) W W C Wi 若要求正交补,则唯
10 W2 称为 W1 在 Vn ( F )中的补子空间 （其不唯一） 1 1 1 1 2 1 ( ) . m n m m n m n W V F W + + = 从 选基 ， ，扩充为空间 的基 ， ， ， ，则 若要求正交补 则唯一。 , 0 W1 W2 W1 W2 ⊥ 1 2
