16 高等数学重点难点100讲 第5讲极限定义 、数列极限的E—N定义 limr=a台对于任意给定的正数e,总存在正整数N,使得当n>N时,恒有 <ε 上述定义的内涵是:对于给定的E,说明总存在相应的N,而说明存在的最好方式,即是 具体找出来因此,证明极限存在的要点,即是对于给定的e,如何找相应的N,由于定义中 只需说明存在,并不需要找到最小的N,所以常用的处理方式是“放大与缩小”添加限制条 件等. 例1根据定义证明(1)im32、、%(2)lim2n-1 4 证(1)任给定c>0(不妨设∈<2)找N使/3n+1-2<9?+1 2+)21聊n>2(2-1,取N=[(2-1 ∴对任给定的>0(这里不妨设<t),取N= 当n>N时,有 <e,即有im3 2n+ 这种通过解不等式|xn-a|<E来求N的方法,是一种基本方法有时计算比较复杂 般可通过“放大”的技巧来求得一个较大的N,因为定义中只需要存在这样的N即可.如 2(2n+1)<∠1∠e,即n>g,取N=1 该例可通过:1 ,当n>N时,一样有 2(2n+1<e (2)有时为求N在“放大”过程中还需加一定的限制条件.对ε>0,找N使得 n2+n-4-0<c,即2n=1 n2+n-4 而 当n≥2时 2n 4 n2+n-4 (当n≥5时) 注意到极限过程是:n→∞,所以可以限制n≥5,则 2 <n<e,即有、VN 对任给的c>0,取N=max{5 (注意:N宁大勿小!),当n>N时 0<c即Iim2n-1 0. 小结用极限定义证明极限就方法而言,一般是采用先分析后综合的方法(如例1) 证明 limo=a的一般步骤为: 1)将|xn-a化简或适当地放大成|x。-a|≤n); (2)对任给的E>0,要使|x,-al<e,只须%n)<,由此解出n>(e); (3)取N=[e)];