第5讲极限定义 17 (4)当n>N时,恒有|xn-a|<e (5)综上,得; limx=a, 例2证明 lim Vn=1 证(1)把|vn-1化成|yn-11≤%n).令a=yn-1,易知a≥0,由此 得v=1+a,即n=(+y,展开成n=1+nm+(n1)2+…g 注意到上式右端各项的非负性,可得 n(n 2a2,即0≤a≤ 3或|vn-1≤Nn-1 P(n) (2)对任指定的e>0要使|n-1|<e,只须rn)=√n<(这里设n≥2) 解此不等式得:n>e)=+1. (3)取N=[(e)]=+ (4)对上述e>0,当n>N时,恒有|n-1|<ε (5)综上,得lmyn=1 二、函数极限的—8定义 limf(x)=A台对于任意给定的正数E>0,总存在正数a>0,使得当0<|x-x。< δ时,有|f(x)-A|<ε恒成立 例3根据定义证明:(1)lim√x=2; (2)limx2=9 证如例1,例2,仍采用先分析再综合的证明方法 (1)对任给定的c>0,找8,使|√ 2|<.而|√x-21=-x4 +2 2<e,即|x-4|<2e,取d=2e ∴对任给定的>0,有=2,当0<1x-4<8时,√x-2|<E,故 lir 2. (2)对任给的E>0找8,使|x2-9|<e,x2-9|=|(x-3)(x+3)|,注意到极限 过程是:x→3,即动点x与定点3的距离|x-3|可以任意地小,所以可以限制|x-3< 1,即2<x<4从而得 x2-9|=|x+3||x-3|<(4+3)|x-3=7|x-3|<e,即|x-3/<s 取 所以对任给的e>0,有8=m{7(注意8宁小勿大),当0<x-3< 时,|x2-9<e,故limx2=9 小结证明lmf(x)=A的一般步骤如下: (1)将|f(x)-A|化简或适当放大成|∫(x)-A|≤g(|x-x)(不等式右端是|x x的函数); (2)对任给的e>0要使|f(x)-A|<e,只须g|x-x|)<ε,由此解出|x-x。 e); (3)取8=e);