18 高等数学重点难点100讲 (4)当0<|x-x|<δ时,恒有|f(x)-A|<e; (5)综上,得imf(x)=A. 注意(1)定义中的e具有任意性与固定性表示精确度,是衡量f(x)与A接近的程 度的e愈小,接近的程度愈好.它除了限于正数(e>0)外,不受任何限制.|f(x)-A|<c 表明∫(x)与A能接近到任何程度,因此,c具有任意性;另一方面,e一旦给出(在下面的证题 过程中)就应暂时看作固定不变的,它具有固定性以便根据(固定的)它来找.论证时,定 义中的|(x)-A|<∈中的E可换成2e,3∈,e2,而且不等式中的“<”号也可换成“≤”号 (2)定义中的δ是依赖于ε的∈是预先给定的,0是根据E随后找到的有时我们也将 写成(e),这表明了8与的依赖关系,但不是函数关系,因为δ不是由ε惟一确定的事实 上对任给的e>0,有>0,当0<|x-xn<时,恒有(x)-A|<E.取6,=°(m 1,2,…),则当0<|x-x。|<δ时,也有|f(x)-A|<δn其实δ取多大无关紧要,只 关心它的存在性.即只要找到一个δ就行了 (3)定义中的0<|x-x0<δ告诉我们,在极限过程中,完全没有涉及到函数f(x)在 点的情况—f(x)在x点有无定义和若有定义,f(x)取什么值都撤开不管.就是说我 们让这个概念侧重地描述∫(x)在x→x且x≠x时的变化趋势.在讨论limf(x)是否存 在的全过程中都是在假定x≠x的条件下进行的,读者务必充分注意这一点 三、函数极跟的ε一X定义 limf(x)=A台对于任意给定的正数e,总存在正数X,使当|x|>X时,恒有f(x) A|<ε. 例4根据定义求极限:(1)limx=0;(2)im 证(1)任给ε>0找X>0,使当|x>X时, sInr 0|<E,而 Inr 即|{x|>1,取X=1 对任给的>0有x-2当1>N时,田-0<故m-=0 46>0x千-(=1-c面千+1-m:于极限 过程是x→∞,故可限制|x|>1,从而 41|<m21<解出1>2+,取X + 对任给的>0,有X=mx(1.2+1}-2 +1,当|x|>X时,有 x (-1)<e,故im 小结证明lim∫(x)=A的一般步骤为: 1)将(x)-A化简或适当放大成f(x)-A≤g|x1); (2)对任给的e>0,要使|f(x)-A|<ε,只须g(|x|)<ε,由此解出|x|中<(e); (3)取X=y(e); (4)当|x|>X时,恒有|f(x)-A|<E; (5)综上,得lmf(x)=A