R(x)-(+)(x-x)y(2在与x之间拉格朗日形式的余项 +)(-及mR(x) x(x-)0 即Rn(x)=o(x-x)”]皮亚诺形式的余项 fo(xo(x-xo)+ol(x-Xo) )] k 注意: 1、当n=0时泰勒公式变成拉氏中值公式 f(x)=f(x)+f(x-x)(在x与x之间) 取x。=0 在0与x之间令=(05日<1)则余项R(x)=("()xm 麦克劳林( Maclaurin)公式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f"(0)2fn(0) 2 nd fn+(ex).m+ (0<6<1) (x)=f(0)+r(0x+/0x2+…+/o nd +O(x") 四、简单的应用 例1求f(x)=e的n阶麦克劳林公式 解:∵∫(x)=f"(x)=…=fm(x)=ex, f(0)=f(O)=f0)=…=f(O)=1 注意到f()=ex,代入公式得 e=l+x+ (0<6<1) nl(n+1)! 由公式可知e≈1+x+-+…+5 ( ) ( ) ( ) 1! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n   + + − + = 拉格朗日形式的余项 ( ) ( ) 1 0 1 0 ( 1) ( ) 1! ( ) 1! ( ) ( ) + + + − + −  + = n n n n x x n M x x n f R x  0 ( ) ( ) lim 0 0 = → − n n x x x x R x 及 ( ) [( ) ]. 0 n n 即 R x = o x − x 皮亚诺形式的余项 ( ) [( ) ] ! ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) k n n k k x x o x x k f x  f x = − + − = 注意: 1、当 n = 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式 ( ) ( ) ( )( ) ( ) f x = f x0 + f   x − x0 在x0与x之间 2.取 x0 = 0,  在 0 与 x 之间,令  =x (0  1) 则余项 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( ) + + + = n n n x n f x R x  麦克劳林(Maclaurin)公式 (0 1) ( 1)! ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) 1 ( 1) ( ) 2   + + + +  = +  + + +   n n n n x n f x x n f x f f x f f x  ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 n n n O x x n f x f f x f f x + + +  = +  +  四、简单的应用 例 1 求 x f (x) = e 的 n 阶麦克劳林公式. 解： ( ) ( ) ( ) , (n) x  f  x = f  x == f x = e (0) (0) (0) (0) 1 ( )  =  =  = = = n f f f  f n x f x e   = + ( ) 注意到 ( 1) ，代入公式,得 (0 1). 2! ! ( 1)! 1 1 2   + = + + + + + +   n n x x x n e n x x e x  由公式可知 2! ! 1 2 n x x e x n x  + + ++