§6重因式 、重因式的定义 定义9不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的k重因式如果p(x)|f(x),但 p(x)rf(x) 如果k=0,那么p(x)根本不是f(x)的因式;如果k=1,那么p(x)称为f(x) 的单因式;如果k>1,那么p(x)称为f(x)的重因式 注意.k重因式和重因式是两个不同的概念不要混淆 显然,如果f(x)的标准分解式为 f(x)=cp(x)p2(x)..P"(x) 那么P1(x),P2(x)…P,(x)分别是f(x)的r重,n重,…,r重因式指数厂=1的 那些不可约因式是单因式;指数r>1的那些不可约因式是重因式 不可约多项式p(x)是多项式f(x)的k重因式的充要条件是存在多项式g(x), 使得f(x)=p(x)g(x),且p(x)|g(x) 重因式的判别 设有多项式 f(x)=a,x"+a-x+.+ax+ao 规定它的微商(也称导数或一阶导数)是 f(x)=a,nx"+a(n-1)x 通过直接验证可以得出关于多项式微商的基本公式 (f(x)+g(x))=f(x)+g'(x) (cf(x))=cf(x) (∫(x)g(x)’=f(x)g'(x)+f(x)g(x) (∫m(x)=m(m(x)f(x) 同样可以定义高阶微商的概念微商∫(x)称为∫(x)的一阶微商:∫'(x)的微商 f"(x)称为f(x)的二阶微商;等等.f(x)的k阶微商记为f(x)§6 重因式 一、重因式的定义 定义 9 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x) 的 k 重因式,如果 p (x) | f (x) k ,但 ( ) | ( ) 1 p x f x k  + . 如果 k = 0 ，那么 p(x) 根本不是 f (x) 的因式；如果 k =1 ，那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式；如果 k 1 ，那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式. 注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆. 显然，如果 f (x) 的标准分解式为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x cp x p x p x s r s = r r  , 那么 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x  s 分别是 f (x) 的 1 r 重， 2 r 重，… , s r 重因式.指数 ri =1 的 那些不可约因式是单因式；指数 ri 1 的那些不可约因式是重因式. 不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的 k 重因式的充要条件是存在多项式 g(x) , 使得 f (x) p (x)g(x) k = ,且 p(x) | g(x). 二、重因式的判别 设有多项式 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − −  , 规定它的微商（也称导数或一阶导数）是 1 2 1 1 f (x) a nx a (n 1)x a n n n  = n + − + + − − −  . 通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ), f x g x f x g x f x g x cf x cf x f x g x f x g x  =  +   =  +  =  +  ） ( ( )) ( ( ) ( )) 1 f x m f x f x m m  =  − 同样可以定义高阶微商的概念.微商 f (x) 称为 f (x) 的一阶微商； f (x) 的微商 f (x) 称为 f (x) 的二阶微商；等等. f (x) 的 k 阶微商记为 ( ) ( ) f x k