S(x)==(e (7)级数∑”+x“的收敛半径为R=+∞,所以定义域为D=(∞,+x) 设0”nx,则)k=m0=C-D,所以 S(x)=r(e2-1)=(1+x)l2-1 注本题也可直接利用例题10.36,得到 S(x)=fn+I D)! h=n 5.设/(x)=2ax,则不论∑x在x=r是否收敛,只要∑+1 在x=r收敛,就成立 ∫nf(x)dx=∑ 并由此证明 d. In 证由于∑“,x在x=r收敛,可知∑“,x的收敛半径至少为r, n=0M+1 所以∑anx的收敛半径也至少为r。当x∈Dr),利用逐项积分,得 到 /(x=∑a,x1。 n=0n+1 由于∑“收敛,可知∑,x在@连续,令x→r-,得到 n=0n+1 n+1 对∫(x)=n利用上述结果,就得到( ) 2 1 ( ) x x S x e e− = + 。 （7）级数∑ ∞ = + 1 ! 1 n n x n n 的收敛半径为R = +∞ ，所以定义域为 。 设 D = (−∞,+∞) ∑ ∞ = + = 1 ! 1 ( ) n n x n n S x ，则∫ = x S x dx 0 ( ) ( 1) 1 ! 1 ∑ = − ∞ = + x n n x e n x ，所以 ( ) = [ ] ( −1) = x x e dx d S x (1+ ) −1 x x e 。 注 本题也可直接利用例题 10.3.6，得到 ∑ ∞ = + = 1 ! 1 ( ) n n x n n S x + − = ∑ ∞ = − 1 1 n ( 1)! n n x x ∑ ∞ = = 1 ! 1 n n x n (1+ ) −1 x x e 。 5. 设 f (x) = ∑ , 则不论 在 x = r 是否收敛，只要 ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 在 x = r 收敛，就成立 ∫ r f x x 0 ( ) d = ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n r n a ， 并由此证明： ∫ ⋅ − 1 0 d 1 1 ln x x x =∑ ∞ =1 2 1 n n 。 证 由于∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 在 x = r 收敛，可知∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 的收敛半径至少为r ， 所以∑ 的收敛半径也至少为 ∞ n=0 n n a x r 。当 x ∈[0,r)， 利用逐项积分，得 到 ∫ ∑ ∞ = + + = x n n n x n a f x dx 0 0 1 1 ( ) 。 由于 1 0 1 + ∞ = ∑ + n n n r n a 收敛, 可知 1 0 1 + ∞ = ∑ + n n n x n a 在 [0,r] 连续, 令 x → r − ，得到 ∫ ∑ ∞ = + + = r n n n r n a f x dx 0 0 1 1 ( ) 。 对 x x f x − = 1 1 ln 1 ( ) 利用上述结果，就得到 59