定义域为D=[-1l 设S(x)=∑ f(x)=xS(x) ,利用逐项求导,得到 En(n+l) n=In(n+l) (x)=∑x=1 于是厂(x=J1x=-m-x),所以 f(x)dx=1-(1--)ln(1-x),x∈[-1,1), 而S(1) ∑_=1。注意S也可利用S(x)在1上的连续性,由极 n(n 1) 限S(1)=limS(x)=1得到 (5)级数∑m(n+1)x”的收敛半径为R=1,当x=1时,级数发散,所 以定义域为D=(-1)。 设S(x)=∑mn+1x2,f(x)=S(x=∑mm+1)x,利用逐项求积分 与上面习题(1),得到 ∫of(x)t=∑∫om(n+1x"ax=∑(m+1) 所以 2 S(x)=d(1-x) (6)级数1+∑的收敛半径为R=+,所以定义域为D=(-m+∞)。 设S(x) ,则S(x)= 由S(x)+S(x)=e H(2n)! S(x)-S"(x)= 即可得到定义域为D = [−1,1]。 设 ∑ ∞ = + = 1 ( 1) ( ) n n n n x S x ， f (x) = xS(x) = ∑ ∞ = + 1 + 1 n ( 1) n n n x ，利用逐项求导，得到 x f x x n n − = ∑ = ∞ = − 1 1 "( ) 1 1 ， 于是 f '(x) = ln(1 ) 10 x x x dx = − − − ∫ ，所以 S(x) = ∫ = x f x dx x 0 '( ) 1 )ln(1 ) 1 1 (1 x x − − − ， x∈[ 1− ,1) ， 而 1 1 (1) 1 ( 1) n S n n ∞ = = = + ∑ 。注意S(1)也可利用S x( ) 在[ 1− ,1]上的连续性，由极 限 得到。 1 (1) lim ( ) 1 x S S x → − = = （5）级数∑ 的收敛半径为 ∞ = + 1 ( 1) n n n n x R = 1，当 x = ±1时，级数发散，所 以定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ， ∞ = = + 1 ( ) ( 1) n n S x n n x ∑ ∞ = − = = + 1 1 ( 1) ( ) ( ) n n n n x x S x f x ，利用逐项求积分 与上面习题（1），得到 ∫ = x f x dx 0 ( ) ∑∫ ∞ = − + 1 1 0 ( 1) n x n n n x dx ∑ ∞ = = + 1 ( 1) n n n x 1 (1 ) 1 2 − − = x ， 所以 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 (1 ) 1 ( ) 2 dx x d S x x 3 (1 ) 2 x x − = 。 （6）级数 ∑ ∞ = + 1 2 (2 )! 1 n n n x 的收敛半径为R = +∞ ，所以定义域为 。 设 D = (−∞,+∞) ∑ ∞ = = + 1 2 (2 )! ( ) 1 n n n x S x ，则 ∑ ∞ = − − = 1 2 1 (2 1)! '( ) n n n x S x ，由S(x) + S'(x) = e x与 x S x S x e− ( ) − '( ) = ，即可得到 58