第四讲随机变量的数字特征 内容提要 (1)随机变量的数学期望(直接计算,随机变量函数的期望,期望的性质) 方差(直接计算,性质 (2)协方差、协方差矩阵与相关系数(计算,性质) (3)矩和混合矩 (4)常见分布的期望与方差 典型问题 问题1:由给定背景或分布,求相关随机变量的数学期望与方差 问题2:求随机变量函数的数学期望与方差 问题3:协方差相关系数协方差矩阵的计算以及独立性相关性的讨论 问题4:综合应用问题的求解 典型例题 例41.选择题: (1)设随机变量X的方差存在,且记EX=,则对任意常数C,必有 (A)E(X-C)2=EX2-C2(B)E(X-C)2=E(X-)2 (C)E(X-C)<E(X-A) (D)E(X-C)2E(X-A (2)设随机变量x的概率密度为()={+0x1,又x的期望Ex=3 其他 则X的标准差为 (A)/I (B (C)./1 (D) V150 V15 (3)设随机变量X和Y的方差存在且为正,则D(X+Y)=DX+Dy是X与Y (A)不相关的充分条件,但不是必要条件 (B)独立的必要条件,但不是充分条件 (C)不相关的充要条件 (D)独立的充要条件 (4)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量 5=X+Y与n=X-y不相关的充要条件为 (A EX= EY (B) EX-(EX)=EY-(EY) (C) EX= EY (D) EX +(EX)=EY +(EY)第四讲 随机变量的数字特征 内容提要 （1）随机变量的数学期望（直接计算，随机变量函数的期望，期望的性质） 方差（直接计算，性质） （2）协方差、协方差矩阵与相关系数（计算，性质） （3）矩和混合矩 （4）常见分布的期望与方差 典型问题 问题 1: 由给定背景或分布, 求相关随机变量的数学期望与方差 问题 2: 求随机变量函数的数学期望与方差 问题 3: 协方差相关系数协方差矩阵的计算以及独立性相关性的讨论 问题 4: 综合应用问题的求解 典型例题 例 4.1. 选择题： （1） 设随机变量 X 的方差存在，且记 EX = µ ，则对任意常数 C，必有 （A） E(X − C) 2 = EX 2 − C2 （B） 2 2 E(X − C) = E(X − µ) （C） E(X − C) 2 < E(X − µ) 2 （D） 2 2 E(X − C) ≥ E(X − µ) （2）设随机变量 X 的概率密度为 ，又 X 的期望 ⎩ ⎨ ⎧ + < < = 0 其他 0 1 ( ) a bx x f x 5 3 EX = ， 则 X 的标准差为 （A） 150 11 （B） 150 121 （C） 15 11 （D） 30 13 （3） 设随机变量 X 和 Y 的方差存在且为正，则 D(X + Y ) = DX + DY 是 X 与 Y （A）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B）独立的必要条件，但不是充分条件 （C）不相关的充要条件 （D）独立的充要条件 （ 4 ） 设二维随机变量（ X ， Y ）服从二维正态分布，则随机变量 ξ = X + Y与η = X −Y 不相关的充要条件为 （A） EX = EY （B） 2 2 2 2 EX − (EX ) = EY − (EY) （C） 2 2 EX = EY （D） 2 2 2 2 EX + (EX ) = EY + (EY)