第五章特征问题与二次型 51基本内容 51.1特征值与特征向量的定义 设A是一个n阶的方阵，若对数入，存在非零n维向量x,使A=入x成立，则称入是 A的特征值，x是A的属于入的特征向量。 注1特征值问题是对于方阵而言的。 注2特征向量必须是非零向量。 5.12特征值与特征向量的求法 ()若A仁(a,)n为具体矩阵（即a,具体给出）求解步骤为： 第一步：求出方程A一川=0的所有根入，入2，入，即为A的全部特征值。 第二步：对每个不同的入，，解其次方程组(4一入)x0,求出一个基础解系： a,a,,a,即为A的属于元，的线形无关特征向量，而 (a4+,0,+…+1a(其中任意常数41,424气不全为零)则为A的属于入，的全部 特征向量。 注1f(2)=A-川称为A的特征多项式，其为入的n次多项式 f(2)=A一入I=0称为A的特征方程，其在复数域内必有n个根（包括重根）， 所以n阶方阵总共有n个特征值，特征值入的重数称为入的代数重数，记做m, 注2方程组(A-I)x=0的解空间N(A-D称为A的属于元的特征子空间，而把 dimN(A-2)=n-r(A-2I)成为入的几何重数，记作pa· (2)若A为抽象矩阵（即没有给出A的具体元素α，），只有A满足的某些条件，则可 由定义Ax=x来分析求解。 5.1.3特征值与特征向量的性质 ()属于同一特征值入的特征向量的任意非零组合仍是属于入特征向量。 (2)若a1,a2是A的分别属于特征值入1，入2的特征向量，入≠入2，则a,+a2不是A 的征向量。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn第五章 特征问题与二次型 5.1 基本内容 5.1.1 特征值与特征向量的定义 设 A 是一个 n 阶的方阵，若对数l ，存在非零 n 维向量 x，使 Ax=l x 成立，则称l 是 A 的特征值，x 是 A 的属于l 的特征向量。 注 1 特征值问题是对于方阵而言的。 注 2 特征向量必须是非零向量。 5.1.2 特征值与特征向量的求法 (1) 若 A= aij n´n ( ) 为具体矩阵(即 aij 具体给出)求解步骤为： 第一步：求出方程 A - lI = 0 的所有根l l ln , , 1 2L ，即为 A 的全部特征值。 第二步：对每个不同的 li ，解其次方程组(A I) - li x=0，求出一个基础解系： , , , , 1 2 i k ai ai L ai 即 为 A 的 属 于 li 的 线 形 无 关 特 征 向 量 ， 而 i i k i i k i t a + t a +L+ t a 1 1 2 2 (其中任意常数 i k t t Lt 1 2 , 不全为零)则为 A 的属于 li 的全部 特征向量。 注 1 f (l) = A - lI 称为 A 的特征多项式，其为l 的 n 次多项式。 f (l) = A - lI = 0 称为 A 的特征方程，其在复数域内必有 n 个根（包括重根）， 所以 n 阶方阵总共有 n 个特征值，特征值l 的重数称为l 的代数重数，记做 ml 。 注 2 方程组(A - lI)x = 0 的解空间N(A - lI) 称为 A 的属于l 的特征子空间，而把 dimN(A - lI) = n - r(A - lI) 成为l 的几何重数，记作 rl 。 (2) 若 A 为抽象矩阵（即没有给出 A 的具体元素aij ），只有 A 满足的某些条件，则可 由定义 Ax = lx来分析求解。 5.1.3 特征值与特征向量的性质 (1) 属于同一特征值l 的特征向量的任意非零组合仍是属于l 特征向量。 (2) 若a1 a2 , 是 A 的分别属于特征值 1 2 l ,l 的特征向量，l1 ¹ l2 ，则a1 +a2 不是 A 的征向量。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn