第11讲开映射与闭图像定理 教学目的 掌握开映射定理与闭图象定理的内容并初步学会其应 授课要点 1、开映射定理的条件、结论与证明思路 2、闭图象定理的条件、结论与证明思路 3、通过例子初步掌握其应用。 设X,Y是线性赋范空间,T:X→Y是线性算子.我们曾经说过,若T是一一的,则 T-1:R(T)→X是线性算子,这里R(T)是T的值空间.此时对于每个y∈R(T),算子方程 x=y有唯一解存在,x=T-y.若T是到上的,则R(T)=Y,此时T在整个空间Y上有定 义,7T=l是X上的恒等算子.若问在算子方程中y的微小变动是否引起x的变动也是微 小的,这是由T-的连续性决定的.在微分方程理论中,存在性、惟一性和解对所给数据的 连续依赖性统称为适定问题.这一问题与开映射定理有关.另外容易知道,当T是一一的线 性映射时,T是开算子恰恰相当于T-是连续算子(见第一章第3讲定理4) 定义1设T:X→Y是线性算子.若T将X中的每个开集映射为y中的开集,称T为 开算子(开映射) 引理1设X,Y是线性赋范空间,线性算子T:X→Y是开算子当且仅当对于0∈X的 每个邻域O(0.r),T(O(0.r)包含0∈Y的邻域 证明若T是开算子,O(0.r)是0∈X的邻域,则T(O(0.r)是开集.因为70=0,从 而T(O(0.r)是0∈y的邻域 反之,若T具有所说的性质,A是X中任一开集,我们证明T(4)是Y中的开集.对于 每个y∈T(4)),设y=Tx,x∈A,则存在r>0,O(x,r)cA.此时O(x,r)-x=O0,r)是0∈X 的邻域,于是由所说的性质(O(xr)-Tx=T(O(0.r)包含0∈Y的邻域.从而 TO(xr)=Tx+T(O(0.,r)包含x的邻域.显然7(O(xr)cT(A),所以y是T(4)的内点y 是任意的,故T(A)为开集,T为开算子 定理1(开映射定理)设X是 Banach空间,Y是线性赋范空间,T:X→是有界线 性算子并且R(T)是Y中的第二纲集,则T必是开算子并且是到上的 特别地,从 Banach空间到 Banach空间上的有界线性算子是开算子第 11 讲 开映射与闭图像定理 教学目的 掌握开映射定理与闭图象定理的内容并初步学会其应 用。 授课要点 1、 开映射定理的条件、结论与证明思路。 2、 闭图象定理的条件、结论与证明思路。 3、 通过例子初步掌握其应用。 设 X,Y 是线性赋范空间，T : X → Y 是线性算子. 我们曾经说过，若T 是一一的，则 T R T → X − : ( ) 1 是线性算子，这里 R(T) 是T 的值空间. 此时对于每个 y ∈ R(T) ，算子方程 Tx = y 有唯一解存在, . 1 x T y − = 若T 是到上的，则 R(T) = Y, 此时 −1 T 在整个空间Y 上有定 义，T T = I −1 是 X 上的恒等算子. 若问在算子方程中 y 的微小变动是否引起 x 的变动也是微 小的，这是由 −1 T 的连续性决定的. 在微分方程理论中，存在性、惟一性和解对所给数据的 连续依赖性统称为适定问题. 这一问题与开映射定理有关. 另外容易知道，当T 是一一的线 性映射时，T 是开算子恰恰相当于 −1 T 是连续算子 (见第一章第 3 讲定理 4). 定义 1 设T : X → Y 是线性算子. 若T 将 X 中的每个开集映射为Y 中的开集，称T 为 开算子(开映射). 引理 1 设 X,Y 是线性赋范空间，线性算子T : X → Y 是开算子当且仅当对于0∈ X 的 每个邻域 ) O(0.r ，T(O(0.r)) 包含0∈Y 的邻域. 证 明 若T 是开算子，O(0.r) 是0∈ X 的邻域，则T(O(0.r)) 是开集．因为T0 = 0，从 而T(O(0.r)) 是0∈Y 的邻域. 反之，若T 具有所说的性质， A 是 X 中任一开集，我们证明T(A) 是Y 中的开集. 对于 每个 y ∈T(A) )，设 y = Tx, x∈ A, 则存在 r > 0, O(x,r) ⊂ A. 此时O(x,r) − x = O(0,r) 是 0∈ X 的邻域，于是由所说的性质 T( )) O(x.r)) − Tx = T(O(0.r 包 含 0∈Y 的邻域 . 从 而 T( )) O(x.r)) = Tx + T(O(0.r 包含Tx 的邻域. 显然T(O(x.r)) ⊂ T(A) ，所以 y 是T(A) 的内点. y 是任意的，故T(A) 为开集，T 为开算子. 定理 1 (开映射定理) 设 X 是 Banach 空间， Y 是线性赋范空间， T : X → Y 是有界线 性算子并且 R(T) 是Y 中的第二纲集，则T 必是开算子并且是到上的. 特别地，从 Banach 空间到 Banach 空间上的有界线性算子是开算子