在实际问题中,有一些实验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如, 炮弹弹着点的位置要用其横坐标X与纵坐标Y来确定。又如,在制定我国的服装标准时,需 同时考虑人体的上身长、臂长、胸围、下肢长、腰围、臀围等多个变量。对于同一个实验结 果的各个随机变量之间,一般有某种联系,因而需要把它们作为一个整体来研究。本章只介 绍二维情况,有关的内容可以推广到多于二维的情况。 Definition25设S={e}为随机试验E的样本空间,X=X(e),Y=Y(e)是定义在S上 的随机变量,则称有序数组(X,Y)为二维随机变量或称为二维随机向量,称(X,Y)的取值规 律为二维分布.( Suppose S={e} is a sample space for random experiment, X=X(e), r=r(e) are random variables on S, then define ordered array (X, Y)is two-dimension random variable or two-dimension random vector the rule of value for (X, Y)is two-dimension distribution. Definition2.6设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,称二元函数 F(x,y)=P(X≤x,≤y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为(X,Y)的联合分布函 x(Suppose (X, Y) is two-dimension random variable, for arbitrary real value x, y,call F(x,y)=P(X sx, rsy)distribution function for two-dimension random variable(X, Yor lity distribution function. 如果把二维随机变量(X,)看作平面上具有随机坐标(X,)的点,那末分布函数 F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点而位于该点左下方 的无穷矩形域内的概率。 二维随机变量的分布函数的性质( The properties of distribution function for two-dimension random variable): (1)0≤F(x,y)≤1 (2)F(x,y)是变量x,y的不减函数,即:对于任意固定的y,当x<x2时有 F(x1,y)≤F(x2,y);对于任意固定的x,当y<y2时有F(x,y1)≤F(x,y2) (3)对于任意固定的y,F(-∞,y)=imF(x,y)=0;对于任意固定的x, F(x,-∞)=lnF(x,y)=0,并且F(-∞-∞)=lmnF(x,y)=0 F(+∞,+∞)=limF(x,y)=1 二、二维高散型随机变量的概率分布( Probability distribution of two- dimension discrete random variable Definition2.7如果二维随机变量(x,Y)可能取的值只有有限个或可列个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 (f the value of two-dimension random variable(X,Y) is finite or countable, then (X, r) is called two-dimension discrete random variable. 显然,如果(X,Y)是二维离散型随机变量,则X,Y均为一维离散型随机变量:反之亦成 立。 Definition28设二维随机变量(X,Y)所有可能取的值为(x,y),(i=1,2,…;j=1,2,…), 则称P(X=x,Y=y,)=P,(,j=1,2,)为(X,Y)的概率分布,或称为(X,)的联合分 Ap.(If all value of two-dimension random variable (X, Y)is(x,y,),(i=1, 2, .,j=1, 2,.),then call P(X=x,r=y)=Pi (i,j=1, 2,) probability distribution or unity distribution. 2323 在实际问题中，有一些实验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如， 炮弹弹着点的位置要用其横坐标 X 与纵坐标 Y 来确定。又如，在制定我国的服装标准时，需 同时考虑人体的上身长、臂长、胸围、下肢长、腰围、臀围等多个变量。对于同一个实验结 果的各个随机变量之间，一般有某种联系，因而需要把它们作为一个整体来研究。本章只介 绍二维情况，有关的内容可以推广到多于二维的情况。 Definition 2.5 设 S e ={ } 为随机试验 E 的样本空间， X X e = ( ),Y Y e = ( ) 是定义在 S 上 的随机变量，则称有序数组 ( , ) X Y 为二维随机变量或称为二维随机向量，称 ( , ) X Y 的取值规 律 为 二 维 分 布 . (Suppose S e ={ } is a sample space for random experiment, X X e = ( ) , Y Y e = ( ) are random variables on S, then define ordered array ( , ) X Y is two-dimension random variable or two-dimension random vector, the rule of value for ( , ) X Y is two-dimension distribution.） Definition 2.6 设 (X,Y) 是 二 维 随 机 变 量 ， 对 于 任 意 实 数 x, y ，称二元函数 F(x, y) = P(X  x,Y  y) 为二维随机变量 (X,Y) 的分布函数，或称为 (X,Y) 的联合分布函 数。(Suppose (X,Y) is two-dimension random variable, for arbitrary real value x, y ，call F(x, y) = P(X  x,Y  y) distribution function for two-dimension random variable (X,Y) or unity distribution function . ) 如果把二维随机变量 (X,Y) 看作平面上具有随机坐标 (X,Y) 的点，那末分布函数 F(x, y) 在（ x, y ）处的函数值就是随机点 (X,Y) 落在以点（ x, y ）为顶点而位于该点左下方 的无穷矩形域内的概率。 二 维 随 机 变 量 的 分 布 函 数 的 性 质 (The properties of distribution function for two-dimension random variable) ： （1） 0  F(x, y)  1 ； （2） F(x, y) 是变量 x, y 的不减函数，即：对于任意固定的 y ，当 1 2 x  x 时有 ( , ) ( , ) 1 2 F x y  F x y ；对于任意固定的 x ，当 1 2 y  y 时有 ( , ) ( , ) 1 2 F x y  F x y . （3） 对于任意固定的 y ， (−, ) = lim ( , ) = 0 →− F y F x y x ；对于任意固定的 x ， ( ,−) = lim ( , ) = 0 →− F x F x y y , 并 且 (−,−) = lim ( , ) = 0 →− →− F F x y y x ， (+,+) = lim ( , ) = 1 →+ →+ F F x y y x . 二、 二维离散型随机变量的概率分布(Probability distribution of two-dimension discrete random variable) Definition 2.7 如果二维随机变量 (X,Y) 可能取的值只有有限个或可列个，则称 (X,Y) 为二维离散型随机变量。(If the value of two-dimension random variable (X,Y) is finite or countable, then (X,Y) is called two-dimension discrete random variable.) 显然，如果 (X,Y) 是二维离散型随机变量，则 X ,Y 均为一维离散型随机变量；反之亦成 立。 Definition 2.8 设二维随机变量 (X,Y) 所有可能取的值为 (x , y ),(i = 1,2,...; j = 1,2,...) i j ， 则称 P(X = x ,Y = y ) = p ,(i, j = 1,2,...) i j ij 为 (X,Y) 的概率分布，或称为 (X,Y) 的联合分 布。(If all value of two-dimension random variable (X,Y) is (x , y ),(i = 1,2,...; j = 1,2,...) i j ，then call P(X = x ,Y = y ) = p ,(i, j = 1,2,...) i j ij probability distribution or unity distribution .)