分别称函数∫和∫为∫的正部和负部(图1-2)∫和∫都是非负值函数,并且成立 ∫=f-f,=f*+∫ f(x) f(x) 图 为简单计,我们以后将集{x:∫(x)<a}简写成{∫<a},将集{x:f(x)≤g(x)}简写 成{∫≤g}等等 定理3设∫和g是两个可测函数则函数引f(c是实数,∫+g,/,团,∫vg和 f∫∧g都是可测函数 证明(1)若c=0,则≡0.此时当然是可测函数当c≠0时,则va∈R,有 Lf 若c>0 icf <a= {>a}若c<0 等式右边的集都是可测集因此f是可测函数 (2).先设∫和g不取异号∞为值设{n}是有理数的全体.由于∫+g<a当且仅当 存在rn使得∫<rn并且g<a-rn,因此 U+g<a=U(<rin(g<a-rm) 由上式∫和g的可测性知道{∫+g<a}是可测集.因此∫+g是可测函数.再考虑一般情 形.令 A={∫=+0,g=-0}∪{f=-∞,g=+∞}71 分别称函数 + f 和 − f 为 f 的正部和负部(图 1—2). + f 和 − f 都是非负值函数, 并且成立 , . + − + − f = f − f f = f + f 图 1—2 为简单计, 我们以后将集{x : f (x) < a}简写成{ f < a}, 将集{x : f (x) ≤ g(x)} 简写 成{ f ≤ g}等等. 定理 3 设 f 和 g 是两个可测函数. 则函数 cf (c 是实数), f + g , fg , f , f ∨ g 和 f ∧ g 都是可测函数. 证明 (1).若c = 0, 则 cf ≡ 0. 此时cf 当然是可测函数. 当c ≠ 0 时, 则 1 ∀ ∈a R , 有      > < < > < = { } 0. { } 0 { } c c a f c c a f cf a 若 若 等式右边的集都是可测集. 因此cf 是可测函数. (2). 先设 f 和 g 不取异号 ∞ 为值. 设{ }nr 是有理数的全体. 由于 f + g < a 当且仅当 存在 nr 使得 n f < r 并且 . n g < a − r 因此 { } ({ } { }). 1 ∪ ∞ = + < = < ∩ < − n n n f g a f r g a r 由上式 f 和 g 的可测性知道{ f + g < a}是可测集. 因此 f + g 是可测函数. 再考虑一般情 形. 令 A = { f = +∞, g = −∞}∪{ f = −∞, g = +∞}. X Y f (x) O f (x) + f (x) −