实分析精选50题 作(X,R)上的可测函数f ∈F x∈Gn,n=1,2 ((Gn) 考虑∫在X上的积分 J=22(F)+2 (G/(G,)<∞, 令U(E)=.易证U是(X,R)上全有限测度 1.若以(E)=0→U(E)=0 2.若D(E)=0,∫>0,易证以(E)=0所以等价于U (i)考虑{n}的全变差测度{mn},|仍是一个全a一有限测度, 由(1)的证明:存在(X,R)上全有限测度Un,使得等价于Un 由第2题(1)的证明,必存在(X,R)上全有限测度μ,使得Un对于μ是绝对连 续的(n=1,2.) 所以 un对于是绝对连续的(n=12) 即:An对于是绝对连续的(n=1,2) 证毕 4.设(X,S,p)是一个全有限测度空间,∫是(X,S,p)上的一个可测函数,如果对 于扩张数直线上的任何 Borel集M,有U(M)=(f(M),则U是 Borel集类上 的一个测度,设g()=(x∈x:(x)<}),若f是有限函数,则g具有下列性 质 (1)它是单调增加的(2)左连续的g(-∞)=0,g(∞)=(X) 我们称g为∫的分布函数若g是连续的,则g引出的 Lebesgue- Stieltjes测度g 是U的增补∫是可测集E的特征函数,则U(M)=(1)(E)+x1(O)(E)实分析精选 50 题 4 作(,) X R 上的可测函数 f : ( ) ( ) 1 1 , 1, 2,... 2 1 , 1, 2,... n n n n n xF n f xGn μ G + ⎧ ∈ = ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ∈ = ⎪ ⎩ 考虑 f 在 X 上的积分: X fdμ ∫ = 1 1 1 1 1 () () 2 () n n n n n n n F G G μ μ μ ∞ ∞ + = = ∑ ∑+ <∞ , 令 ( ) E υ μ E = fd ∫ . 易证υ 是(,) X R 上全有限测度. 1. 若μ() 0 () 0 E E =⇒ = υ 2. 若υ() 0 E = , 0, ∵ f > 易证μ() 0 E = 所以μ 等价于υ . ( ) ii 考虑{μn} 的全变差测度{ μn } , μn 仍是一个全σ − 有限测度, 由( )i 的证明: 存在(,) X R 上全有限测度υn，使得 μn 等价于υn . 由第 2 题( )i 的证明, 必存在(,) X R 上全有限测度μ ，使得υn对于μ 是绝对连 续的( 1, 2...) n = ． 所以: . μn 对于μ 是绝对连续的( 1,2...) n = , 即: μn 对于μ 是绝对连续的( 1,2...) n = ． 证毕. 4. 设( ,,) X S μ 是一个全有限测度空间， f 是( ,,) X S μ 上的一个可测函数，如果对 于扩张数直线上的任何 Borel 集 M ，有 1 υ μ ( ) ( ( )) M f M − = ，则υ 是 Borel 集类上 的一个测度，设 gt x X f x t () : ( ) =∈ < μ ( ) { } ，若 f 是有限函数，则 g 具有下列性 质： （1） 它是单调增加的 （2）左连续的 ( ) 0, ( ) ( ) g gX −∞= ∞= μ . 我们称 g 为 f 的分布函数.若 g 是连续的,则 g 引出的 Lebesgue Stieltjes − 测度 μg 是υ 的增补. f 是可测集 E 的特征函数,则 ( ) (1) ( ) (0) ( )c υ χμ χ μ M = + M M E E