实分析精选50题 (i)证明必存在(X,R)上全有限测度4,使得An对于是绝对连续的(n=1,2) 证明: (1){un}中0≤以(x)≤2的测度记为Un,重新排列,其余的记为T,重新排列 定义B)-22+2m-( 可以证明(②)=0,以(x)<+∞,对于UE,E∩E= E)7UE)∑U(E)。∑T(E) E I T(X) T(X) 由于二和均收敛故可交换顺序 3)22, T(E H∪E ∑(E) T(X= 所以是一个全有限测度容易验证:Hn对于是绝对连续的(n=1,2.) (i)考虑{xn}的全变差测度{-},m仍是一个全有限测度由()的证明存在 有限测度〃,使得|对于是绝对连续的, 所以n对于4是绝对连续的(m=1,2) 证毕 3()设是可测空间(X,R)上全a-有限的测度,证明:必存在(X,R)上全有限 测度U,使得μ等价于U (i)设{n}是可测空间(x,R)上全a-有限的广义测度序列,证明必存在(Xx,R) 上全有限测度,使得对于4是绝对连续的(n=1,2.) (1)证明: H是可测空间(X,R)上全-有限的测度X=UE,且山(E)<+0E互斥 将{E}分类0≤(E)≤2的记作{F}(重新排列),其余的记为{G}(重新排列)实分析精选 50 题 3 ( ) ii 证明必存在(,) X R 上全有限测度μ ，使得μn 对于μ 是绝对连续的( 1,2...) n = ． 证明： ( )i {μn} 中0 ()2 ≤ ≤ μ X 的测度记为υn，重新排列，其余的记为Tn ，重新排列 定义 1 1 1 () () ( ) 2 () n n n n n n n E TE E T X υ μ ∞ ∞ + = = = + ∑ ∑ . 可以证明μ μ ( ) ∅ = < +∞ 0, ( ) X ,对于 1 ,ii i i EE E ∞ = ∪ ∩ = ∅ : 1 1 1 1 1 1 () () 2 () ni ni i i i n n i n n n E TE E T X υ μ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = = + = = = ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∪ ∪ ∪ = 1 1 1 1 1 () () 2 () ni ni i i n n n n n E TE T X υ ∞ ∞ ∞ ∞ = = + = = + ∑ ∑ ∑ ∑ 由于二和均收敛,故可交换顺序. ∴ 1 i i μ E ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∪ = 1 11 11 () () 2 () ni ni n n in in n E TE T X υ ∞∞ ∞∞ + == == ∑∑ ∑∑ + = 1 ( )i i μ E ∞ = ∑ 所以μ 是一个全有限测度,容易验证: μn 对于μ 是绝对连续的( 1,2...) n = ． ( ) ii 考虑{μn} 的全变差测度{ μn } , μn 仍是一个全有限测度,由( )i 的证明存在 有限测度μ ，使得 μn 对于μ 是绝对连续的， 所以μn 对于μ 是绝对连续的( 1,2...) n = . 证毕. 3.( )i 设μ 是可测空间(,) X R 上全σ − 有限的测度，证明：必存在(,) X R 上全有限 测度υ ，使得μ 等价于υ . ( ) ii 设{μn} 是可测空间(,) X R 上全σ − 有限的广义测度序列, 证明必存在(,) X R 上全有限测度μ ，使得μn 对于μ 是绝对连续的( 1,2...) n = . ( )i 证明: ∵μ 是可测空间(,) X R 上全σ − 有限的测度, 1 i i X E ∞ = ∴ =∪ ,且μ (Ei) < +∞ Ei 互斥 将{Ei}分类, 0 2 ≤ μ ( ) Ei ≤ 的记作{Fi} (重新排列), 其余的记为{Gi} (重新排列)