于是 S(x)-S(x)=|S()-S(x)<E, 所以{S(x)}在(a,b)上内闭一致收敛于S'(x) 7.设S(x)在[0a]上连续,令 SAx)=「S(dt, 证明:{S(x)}在0a上一致收敛于0 证设(x≤M,则 ()50Mh=M2, ISn(x)=I5oSm-1(dr sOm (n-1) 由于 M 所以{Sn(x)}在p,a]上一致收敛于0 8.设S(x)在[0,上连续,且S(1)=0。证明:{x"S(x)}在[O,1上一致收 敛 证S(x)在0上连续,所以有界,设s(x)≤M。由S()=0,可知 vE>036>0,wx∈-61],成立“S(x列<E 由于4"}在p-。]上一致收敛于零,可知 3N,>N,Wx∈p1-l],成立x<元 于是 x"S(x)<8于是 Sn (x) − S'(x) = S'(ξ ) − S'(x) < ε ， 所以{Sn(x)}在(a,b)上内闭一致收敛于S '(x)。 7. 设S0 (x) 在[0, a]上连续，令 Sn(x) = ∫ − d t， n = 。 x n S t 0 1 ( ) 1,2," 证明：{Sn(x)}在[0, a]上一致收敛于 0。 证 设 S0 (x) ≤ M , 则 S x S t dt Mx x = ∫ ≤ 0 1 0 ( ) ( ) ， = ∫ ≤ ∫ x x S x S t dt Mtdt 0 0 2 1 ( ) ( ) 2! 2 x = M ， " ∫ ∫ = − = ≤ − − x n n x n n n x dt M n t S x S t dt M0 1 0 1 ( 1)! ! ( ) ( ) ， " 由于 ! n! a M n x M n n ≤ ， ) 0 ! lim( = →∞ n a M n n ， 所以{Sn(x)}在[0, a]上一致收敛于 0。 8. 设S(x)在[0,1]上连续，且S(1) = 0。证明：{x n S(x)}在[0,1]上一致收 敛。 证 S(x)在[0,1]上连续，所以有界，设 S(x) ≤ M 。 由S(1) = 0 , 可知 ∀ε > 0, ∃δ > 0 , ∀x ∈[1−δ ,1]，成立 x S(x) < ε n 。 由于{ }n x 在[0,1−δ ]上一致收敛于零，可知 ∃N, ∀n > N , ∀x ∈[0,1−δ ]，成立 M x n ε < ， 于是 x S(x) < ε n 8