Chapter 7 Fourier transforms to adopt the Fourier series. But in the infinite space range of x[-oo, too], there is the continue variables k[oo, +oo ], and the wave function is the plane wave P, (x)-etikr (see below ) We need to learn the Fourier transforms 对(-∞,∞)上的非周期函数f(),不能展成 Fourier级数,但是我们 可以把它看成是周期为T的函数当T→∞时的极限。周期为T的函数的 Fourier级数为:f()=∑ 其中,c=m0山,而a=m2=72,△0=n-mn 2丌 因此,可以把c改写为 TJ-, f(r)e"o'dr f()eod5,代入f(t)的表达式,得 2 △Or f(o ∑日 ∫(5)e"d f(E)e-i%a(-sdE 当T→∞时,△O=2→0,1=n→o( continued spectrum) ∑(…)△o→「(…)da.因此, (02r 令1o)=n1Cr“a=-e°d, 则f() f(o)e do Fourier积分定理: 若函数f()在区间(-0∞)上满足:(1)f()在任一有限区间上满 足Diet条件:(2)()在(-,)上绝对可积即[()收敛、有 限或者limf()=0],则f()可表示成 Fourier积分,且 Fourier积分值等Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 5 to adopt the Fourier series. But in the infinite space range of x[ , ],   there is the continue variables k[ , ],   and the wave function is the plane wave ( ) ikx k  x e  (see below). We need to learn the Fourier transforms. 对 t ,  上的非周期函数 f (t) ，不能展成 Fourier 级数，但是我们 可以把它看成是周期为 T 的函数当 T   时的极限。周期为 T 的函数的 Fourier 级数为： ( ) , n i t n n f t c e       其中， 1 2 1 2 1 ( ) d n T i t n T c f t e t T     ，而 T n n n    2  0  ， T n n     2   1   . 因此，可以把 n c 改写为 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) d ( ) d 2 n n T T i t i n T T c f t e t f e T               ，代入 f (t) 的表达式，得   1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) d ( ) d 2 2 n n n T T i i t i t T T n n f t f e e f e                                     . 当 T   时， 0 2    T   ， 2 n n T      (continued spectrum)， ( ) ( )d . n      因此， 1   ( ) ( ) d d 2 1 1 ( ) d d . 2 2 i t i i t f t f e f e e                                     令       f  f e  f t e t i i t ( ) d 2 1 ( ) d 2 1 ( ) ~        , 则          ( ) d ~ 2 1 ( ) i t f t f e . 1. Fourier 积分定理： 若函数 f (t) 在区间 t ,  上满足:（1） f (t) 在任一有限区间上满 足 Dirichlet 条件；（2） f (t) 在 t ,  上绝对可积[即    f (t) dt 收敛、有 限或者 lim ( ) 0 t f t   ]，则 f (t) 可表示成 Fourier 积分，且 Fourier 积分值等