《现代控制理论基础》第五章(讲义) 给出。式(5.25)中的矩阵P必须满足式(5.23),即满足下列退化方程 P+PA- P+0=0 式(5.26)称为退化矩阵黎卡提方程,其设计步骤如下: 1、求解退化矩阵黎卡提式(5.26),以求出矩阵P。如果存在正定矩阵P(某 些系统可能没有正定矩阵P),那么系统是稳定的,即矩阵A-BK是稳定矩阵。 2、将矩阵P代入式(5.25),求得的矩阵K就是最优矩阵。 例5.9是建立在这种方法基础上的设计例子。注意。如果矩阵A-BK是稳 定的,则此方法总能给出正确的结果。 确定最优反馈增益矩阵κ还有另一种方法,其设计步骤如下: 1、由作为K的函数的式(5.23)中确定矩阵P。 2、将矩阵P代入式(5.24),于是性能指标成为K的一个函数。 3、确定K的各元素,使得性能指标为极小。这可通过令∂J/∂k,等于零, 并解出k的最优值来实现J对K各元素k为极小。 这种设计方法的详细说明见例5.1和5.12。当元素k的数目较多时,该方 法很不便。 如果性能指标由输出向量的形式给出,而不是由状态向量的形式给出,即 则可用输出方程 来修正性能指标,使得J为 J=「(x"C"QCx+u"Ran)d (5.29) 且仍可用本节介绍的设计步骤来求最优矩阵K [例5.9]研究如图5.7所示的系统。假设控制信号为 l(1)=-kx(1) 试确定最优反馈增益矩阵A,使得下列性能指标达到极小 Ox +udt 式中 ≥0 由图5.7可看出,被控对象的状态方程为《现代控制理论基础》第五章(讲义) 3 给出。式(5.25）中的矩阵 P 必须满足式(5.23），即满足下列退化方程 0 1 + − + = − A P PA PBR B P Q H H (5.26) 式(5.26）称为退化矩阵黎卡提方程，其设计步骤如下： 1、求解退化矩阵黎卡提式(5.26），以求出矩阵 P。如果存在正定矩阵 P（某 些系统可能没有正定矩阵 P），那么系统是稳定的，即矩阵 A − BK 是稳定矩阵。 2、将矩阵 P 代入式(5.25），求得的矩阵 K 就是最优矩阵。 例 5.9 是建立在这种方法基础上的设计例子。注意。如果矩阵 A − BK 是稳 定的，则此方法总能给出正确的结果。 确定最优反馈增益矩阵 K 还有另一种方法，其设计步骤如下： 1、由作为 K 的函数的式(5.23）中确定矩阵 P。 2、将矩阵 P 代入式(5.24）,于是性能指标成为 K 的一个函数。 3、确定 K 的各元素，使得性能指标为极小。这可通过令 ij  J /  k 等于零， 并解出 ij k 的最优值来实现 J 对 K 各元素 ij k 为极小。 这种设计方法的详细说明见例 5.11 和 5.12。当元素 ij k 的数目较多时，该方 法很不便。 如果性能指标由输出向量的形式给出，而不是由状态向量的形式给出，即   = + 0 J ( y Q y u Ru)dt H H 则可用输出方程 y = Cx 来修正性能指标，使得 J 为 (5.29) 且仍可用本节介绍的设计步骤来求最优矩阵 K。 ------------------------------------------------------------------ [例 5.9] 研究如图 5.7 所示的系统。假设控制信号为 u(t) = −Kx(t) 试确定最优反馈增益矩阵 K，使得下列性能指标达到极小 J x Qx u dt T   = + 0 2 ( ) 式中 , 0 0 1 0        =   Q 由图 5.7 可看出，被控对象的状态方程为 x  = Ax + Bu   = + 0 J (x C QCx u Ru)dt H H H