a小=a-小-[]r- =π(n,r -- -[a[}- =-安[} 定理11：设p,P2,pm是前m个素数， m=π(n),m,=π（同），m,=π（列），…，m:=π(），m之k 那么素数的个数公式为： π(n)）=π(n,m,)+m-l am小=a小空[ 证明)=e三[品 a小m)三[ π(m,m)=π(，m,) [ a-a小空[ 只要计算出了π(n,m-),我们就可以推得π(n,m)进而就可以得到素数的个数公 式： π(n)=π(n,m)+m-l a小=a空() ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 , ,1 ,1 ,2 ,2 ,1 ,0 ,0 , 1 ,0 , r r r r r i i n nr nr r p n n nr r r p p n n n r p p n n i p ππ π ππ π ππ π π π − − = + ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = −− − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡⎤ = −− −− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎡⎤ ⎡⎤ = − −− − ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ = − ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ∑ """""""""""""""""""" "" 定理 11：设 2 1 2 , , m p p p "" 是前m2 个素数， ( ) ( ) ( ) ( ) 3 12 3 , , ,, , . k m nm nm n m nm k == = = ≥ ππ π π "" k k 那么素数的个数公式为： () ( ) ( )( ) 1 2 2 1 1 1 , 1 ,, , k k m k k i m i n nm m n nm nm i p π π ππ π − − − = + = +− ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∑ 证明： ( )( ) 1 1 1 1 ,, , k k m k k i m i n nm nm i p ππ π − − − = + ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∑ ( )( ) 2 1 1 2 2 1 ,, , k k m k k i m i n nm nm i p ππ π − − − − − = + ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∑ ………………………………………………………… ( )( ) 3 4 1 3 3 1 ,, , m i m i n nm nm i p ππ π − = + ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∑ ( )( ) 2 3 1 2 3 1 ,, , m i m i n nm nm i p ππ π − = + ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∑ 只要计算出了 ( ) 1 , k π n m − ,我们就可以推得π (n m, 2 ) 进而就可以得到素数的个数公 式： () ( ) ( )( ) 1 2 2 1 1 1 , 1 ,, , k k m k k i m i n nm m n nm nm i p π π ππ π − − − = + = +− ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∑