n=pp P.sp p (3) 称(3)式为整数n的标准素因数分解式。 应用上一节性质2(ⅴ)关于整除的性质可以得到如 下推论 推论1设整数n由(3)式给出。那么d是n的正因数的 充分必要条件是 d=pp2…p,0≤d,≤a,1≤i≤s(4 从而整数n的正因数的个数为 d(m)=(1+a1+a)…(1+a) 推论1告诉我们:只要知道了正整数的标准分解式, 它的所有正约数就全知道了,且由等式(4)给出 例1设n|ab,n|cd,n|(ac+bd),证明: n ac,n 在实际应用中,为了简便,我们经常使用整数n素因数 分解如下的形式 =Pp2…p,p≤p2≤…≤p,α≥0,i=1,2,…S 它与(3)式的区别是允许某些a=0,很明显这种分 解方法不是惟一的,有了这种分解形式,我们很容易 得到如下关于最大公因数和最小公倍数的求解方法。 推论2设整数a,b有如下素因数分解形式 a=P"p"…P,b=P"P 0≤a,B,=1,2 (5)s n p p ps 1 2   = 1 2 ， p1  p2  ps ， i s i   0, =1,2,  , （3） 称（3）式为整数 n 的标准素因数分解式。 应用上一节性质 2（ⅴ）关于整除的性质可以得到如 下推论 推论 1 设整数 n 由（3）式给出。那么 d 是 n 的正因数的 充分必要条件是 ds s d d d p p p 1 2 = 1 2 ， 0  di i ， 1 i  s （4） 从而整数 n 的正因数的个数为 ( ) (1 )(1 ) (1 ) d n = +1 +2  + s 推论 1 告诉我们：只要知道了正整数的标准分解式， 它的所有正约数就全知道了，且由等式（4）给出。 例 1 设 n | ab,n | cd,n | (ac + bd) ，证明： n | ac,n | bd 。 在实际应用中，为了简便，我们经常使用整数 n 素因数 分解如下的形式 s n p p ps 1 2   = 1 2 ， p1  p2  ps ， i s i   0, =1,2,  , 它与（3）式的区别是允许某些 i = 0 ，很明显这种分 解方法不是惟一的，有了这种分解形式，我们很容易 得到如下关于最大公因数和最小公倍数的求解方法。 推论 2 设整数 a,b 有如下素因数分解形式 s a p p ps 1 2   = 1 2 ， s b p p ps 1 2   = 1 2 ， i s i i 0  , , =1,2,  , （5）