§1.3算术基本定理 定理1任一整数n>1都可以表示成素数的乘积,且 在不考虑乘积顺序的情况下,该表达式是惟一的。即 n=PP2…P,P≤P2≤…≤p (1) 其中p是素数。并且若有 n=q1q2…q,q≤q2 其中q是素数,则 S,p=q,1≤i≤r 证由第一节定理2(1)式对所有大于1的整数m都 成立,下证惟一性。设还有 n=q1q2…q,qsq2 其中q是素数,则 P1P2…P=qq2∵q (2) 因此pqg…q,根据1.2例4,存在q使得p|q 但p,q都是素数,故p=q 同理可证存在p使得p=q,即有 pi sp =q,sq=p 所以P=q。将(2)式的两端同时消除p,则有 P2…P=q2q 同理可以推出p2=q2,依次类推得到 s,p=q 1<i 把式(1)中相同的素数合并,即得§1.3 算术基本定理 定理 1 任一整数 n 1 都可以表示成素数的乘积，且 在不考虑乘积顺序的情况下，该表达式是惟一的。即 n = p1 p2 pr ， p1  p2  pr （1） 其中 i p 是素数。并且若有 n = q1q2 qs ， q1  q2  qs 其中 j q 是素数，则 r s p q i r = , i = i , 1  。 证 由第一节定理 2（1）式对所有大于 1 的整数 n 都 成立，下证惟一性。设还有 n = q1q2 qs ， q1  q2  qs 其中 j q 是素数，则 p1 p2 pr = q1q2 qs （2） 因此 p1 q1q2 qs | ，根据 1.2 例 4，存在 j q 使得 p qj | 1 ， 但 p qj , 1 都是素数，故 p1 = qj 同理可证存在 k p 使得 pk = q1 ，即有 p1  pk = q1  qj = p1 所以 p1 = q1 。将（2）式的两端同时消除 1 p ，则有 p2 pr = q2 qs 同理可以推出 p2 = q2 ，依次类推得到 r s p q i r = , i = i , 1  把式（1）中相同的素数合并，即得