习题10.4函数的幂级数展开 1.求下列函数在指定点的 Taylor展开,并确定它们的收敛范围: 1;(2) (4)sin x, x (5)In x, xo=2 0 1 x+1 (8)(1+x)ln(1-x) 0; 解(1)令x-1=1,则 1+2x3x2+5x3=1+2(+1)-3(+1)2+5(+1) =5+11+1212+5r3=5+11(x-1)+12(x-1) 因为级数只有有限项,所以收敛范围是D=(-∞,+∞)。 (2)由x=-(+5=(x+y,应用逐项求导得到 ∑n( ∑(n+1)(x+1) 级数的收敛半径为R=1 当x=-2与x=0时,级数发散,所以收敛范围是D=(-2,0)。 (3) 2-x-x2(2+x)1-x)3(1-x2+x 3/2x2-(y1121 级数的收敛半径为R=1。 当x=±1时,级数发散,所以收敛范围是D=(-1,1) (4) sin x=sin((x-)+-1=sin-cos(x +cossin(x-) 6 6习 题 10. 4 函数的幂级数展开 1. 求下列函数在指定点的 Taylor 展开，并确定它们的收敛范围： ⑴ 1 + 2x-3x 2 + 5x 3 ，x0 = 1; ⑵ 2 1 x ， x0 = -1; ⑶ 2 2 x x x − − ， x0 = 0; ⑷ sin x， x0 = 6 π ; ⑸ ln x ， x0 = 2; ⑹ 3 4 − x 2 ， x0 = 0; ⑺ 1 1 + − x x ， x0 = 1; ⑻ (1+x) ln (1-x), x0 = 0; ⑼ ln x x − + 1 1 ， x0 = 0; ⑽ x x − − 1 e , x0 = 0。 解（1）令 x −1 = t，则 1 + 2x-3x 2 + 5x 3 2 3 = 1+ 2(t +1) − 3(t +1) + 5(t +1) 2 3 = 5 +11t +12t + 5t 2 3 = 5 +11(x −1) +12(x −1) + 5(x −1) 。 因为级数只有有限项，所以收敛范围是D = (−∞,+∞)。 （2）由 1 ( 1) 1 1 − + = − x x ∑ ∞ = = + 0 ( 1) n n x ，应用逐项求导得到 2 1 x = ∑ + = ∞ = − 1 1 ( 1) n n n x ∑ ∞ = + + 0 ( 1)( 1) n n n x 。 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = −2与 x = 0时，级数发散，所以收敛范围是D = (−2,0)。 （3） 2 2 x x x − − (2 x)(1 x) x + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = x 2 x 2 1 1 3 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ∑ − ∑ ∞ = ∞ =0 0 2 ( 1) 3 1 n n n n n n x x n n n n ∑ x ∞ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = + 0 1 2 ( 1) 1 3 1 。 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = ±1时，级数发散，所以收敛范围是D = (−1,1)。 （4） sin sin[( ) ] 6 6 x x π π = − + = − ) + 6 cos( 6 sin π π x cos sin( ) 6 6 x π π − 1