(9)「2 dx=|42+2·(5) 4+_1n2(2) +C。 In 4 In 2-In 33 In 99 dx= 2dx-5('dx=2x ln2-ln33+C。 (11)∫ cos 2x dx=(cos x+ sin x)dx=sin x-cosx+C cos- sIn x (12) 3 dx dx =2 arctan x-3 arcsinx+C o 1+x (13)(-x)x√x=(x2-x)k 4-7 (14) cos in d- cosar-sin' d=fecsc' sdr-fseci sdr =-cotx-tanx+C=-2csc 2x+C 2.曲线y=f(x)经过点(e,-1),且在任一点处的切线斜率为该点横坐 标的倒数,求该曲线的方程。 解由题意,曲线y=(x)在点(xy处的切线斜率为=1,于是 y=∫=m+C,将点(-)代入,得C=-2,所以曲线的方程为 3.已知曲线y=f(x)在任意一点(x,∫(x)处的切线斜率都比该点横坐标 的立方根少1, (1)求出该曲线方程的所有可能形式,并在直角坐标系中画出示意 (2)若已知该曲线经过(,1)点,求该曲线的方程 解(1)由题意可得=2-1,所以y=-1)=2-x+C,这（9）∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dx x x 2 3 1 2 = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + dx x x x 9 1 ) 3 2 4 2 ( 1 2 2 1 1 4 ( ) ln 4 ln 2 ln 3 3 ln 9 9 x x x = + − +C − 。 （10） 2 3 5 2 3 ⋅ − ⋅ ∫ x x x dx = 2 5 2 5 ( ) 2 ( ) 3 ln 2 ln 3 3 x x dx dx x C 2 − = − ⋅ + − ∫ ∫ 。 （11） cos cos sin 2x x x dx − ∫ = (cos x + sin x d) x = − sin x cos x +C ∫ 。 （12）∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + dx x x 2 2 1 3 1 2 = 2 2 2 3 2arctan 3arcsin 1 1 dx dx x x C x x − = − + − ∫ ∫ + 。 （13） ( ) 1 2 ∫ − x x x dx = 3 11 7 15 4 4 4 4 4 4 ( ) 7 15 x − x dx = − x x +C ∫ 。 （14） cos cos sin 2 2 2 x x x ∫ dx = ∫ − dx x x x x 2 2 2 2 cos sin cos sin =∫ ∫ xdx − xdx 2 2 csc sec = −cot x x − tan +C = −2csc2x +C 。 ⒉ 曲线 经过点 ，且在任一点处的切线斜率为该点横坐 标的倒数，求该曲线的方程。 y f = (x) (e,−1) 解 由题意，曲线 y f = (x)在点(x, y)处的切线斜率为 dx x dy 1 = ，于是 ln dx y x C x = = + ∫ ，将点(e,−1)代入，得 C = −2，所以曲线的方程为 y = ln x − 2。 3．已知曲线 在任意一点 处的切线斜率都比该点横坐标 的立方根少 1， y f = (x) (x, f (x)) （1） 求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意 图； （2） 若已知该曲线经过( , 11)点，求该曲线的方程。 解（1）由题意可得 1 3 = x − dx dy ，所以 4 3 3 3 ( 1) 4 y x = − = dx x − x +C ∫ ，这 170