arctanx-.( arctan x-(x-arctan x)+C 例4求积分 xIn xdx 解:=hnx,x3ax=d=dhv xIn xdx ==x4 In x+In x 总结:若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就考虑设 对数函数或反三角函数为u. 例5求积分 sin(n x)dh 解:「sin(hx)dx= xsin(In x)-「 xdsin(n x =xsin(n x)xcos(In x)dx in(n x)-xcos(n x)+xd[cos(In x) x[sin(In x)-cos(In x)]- sin(n x)ar I sin(h x)a sin(In x)-cos(n x)]+C 例6求积分」 e sin xdx AR: e sin xdx =sin xde =esin x-e d(sin x)=esin x-e'cosxdx e ' sin x-cos xde =e sin x-(e cos|e'd cos x) =c(smx-osx)- je"sin xdr(注意循环形式) e sin xax (sin x-cos x)+C. x arctan x 求积分! x artan dx=arctan xdvi+x23 dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = −  −  ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − + 例 4 求积分 ln . 3  x xdx 解： u = ln x, , 4 4 3 dv x x dx = d =  x ln xdx 3  = x x − x dx 4 3 4 1 ln 4 1 . 16 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设 对数函数或反三角函数为 u. 例 5 求积分 sin(ln ) .  x dx 解：  sin(ln x)dx  = x sin(ln x) − x d[sin(ln x)]  = −  dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln )  = x sin(ln x) − x cos(ln x) + x d[cos(ln x)]  = x[sin(ln x) − cos(ln x)]− sin(ln x)dx  sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x = − + 例 6 求积分 sin .  e xdx x 解：  e xdx x sin  = x sin xde  = e sin x − e d(sin x) x x  = e x − e xdx x x sin cos  = − x x e sin x cos xde  = e sin x − (e cos x − e d cos x) x x x  = e x − x − e xdx x x (sin cos ) sin （注意循环形式）  e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 例 7 求积分  + . 1 arctan 2 dx x x x 解： ( ) , 1 1 2 2 x x x + =   +  +  dx x x x 2 1 arctan  = + 2 arctan xd 1 x