/1+x arctan x-Vi+xd(arctan x) +x arctan x =√1+x2 arctan x tx(令x=tant) 1+ tan-t In(sec t+tant)+C=In(x+V1+x2)+C x arctan x =√l+x2 arctan x-n(x+√1+x2)+C vI+x 例8已知∫(x)的一个原函数是e2,求∫xf(x 解:「xf(x)hx=「xd(x)=xf(x)-「f(x) (x))=(x.J/(xh=ec”+C 两边同时对x求导,得f(x)=-2xe, rf(x)dx= xf(x)-If(x)d 、小结 合理选择uv,正确使用分部积分公式[ax=n-|uhdx 思考题 在接连几次应用分部积分公式时,t应注意什么? 思考题解答 注意前后几次所选的应为同类型函数 例如: e cos xdx,第一次时若选l4=cosx ∫ e cosxdx=csx+esmx 第二次时仍应选l2=snx4 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x  = + − + dx x x x x 2 2 2 1 1 1 arctan 1 + = + − +   dx x x x  + = + − 2 2 1 1 1 arctan （令 x = tan t ） dx x  + 2 1 1  + = tdt t 2 2 sec 1 tan 1  = sec tdt = ln(sec t + tan t) +C = ln( x + 1+ x ) +C 2  +  dx x x x 2 1 arctan 1 x arctan x 2 = + ln( 1 ) . 2 − x + + x +C 例 8 已知 f (x) 的一个原函数是 2 x e − , 求  xf (x)dx . 解：  xf (x)dx  = xdf (x) ( ) ( ) ,  = xf x − f x dx ( f (x)dx) = f (x),    ( ) , 2   = + − f x dx e C x 两边同时对 x 求导, 得 ( ) 2 , 2 x f x xe − = −   =  xf (x)dx  xf (x) − f (x)dx 2 2 2 x x e − = − . 2 e C x − + − 二、小结 合理选择 u,v  ，正确使用分部积分公式 uv dx uv u vdx    = −  思考题 在接连几次应用分部积分公式时， u 应注意什么？ 思考题解答 注意前后几次所选的 u 应为同类型函数. 例如：  e xdx x cos ，第一次时若选 u cos x 1 =  e xdx x cos e x e xdx x x  = cos + sin 第二次时仍应选 u sin x 2 =