从而易知V的密度为 f(u)= 9,(,z)dz. 特别，当取i=1,j=n得到(R,Xa)的联合密度 gi.n(v,2) a23(Fv+z)-F(z))"-2f(v+z)f(),>0 (2.2) 0 当v≤0. 而R的边缘密度为∫9(u,2)dz. 均匀分布情形 设X1,X2,·,Xnii.d.~均匀分布U(0,1),其分布函数和密度函数分别为 0,x≤0， F(z)= x,0<x<1,和 1 f(x) 0<x<1, 0 其它 1,x≥1. 设(X(),X(2,…,X(m)为样本X,X2,·,Xn的次序统计量，次序统计量X(m的密度函数 为 (2.3) 由前可知(X,X)的联合密度为 f(a)= 0-G--m-x-1(g-xy-i-1(1-x)m-5,0<x<y<1, 0 其它 而(X(a),X2,…,X(m)的联合密度为 n!, f12.…,n(c(1),x(2)…,x(m)） 当0<x<…<rm)<1, 0. 其它 令F(z)=z,0<z<1,F(v+z)=v+2,0<v+z<1,得到在均匀分布U(0,1)场 合(V,Z)的联合密度 -G-m-n2-1w--1-(+zn-, 9(u,2）= 当0<z<1,0<v+z<1, 其它 此时V=X6)-X句的边缘密度，通过计算积分6-”g,(,z)dz得 = 石-1--+可w--1(1-m-+1，当0<v<1, 其它 特别极差R=X(m一X山的密度函数gn(r)为将前式中的u换成r,将j和i分别用n和1代替得到 n(n-1)rm-2(1-r),当0<r<1, g1n(r） 其它l ¥V ó›è fV (v) = Z ∞ −∞ gi,j (v, z)dz. AO, i = 1, j = n(R, X(1))È‹ó› g1,n(v, z) =    n! (n−2)!(F(v + z) − F(z))n−2f(v + z)f(z), v > 0, 0, v ≤ 0. (2.2) R>ó›è R ∞ −∞ g1,n(v, z)dz. ˛!©Ÿú/ X1, X2, · · · , Xn i.i.d. ∼˛!©ŸU(0, 1),Ÿ©ŸºÍ⁄ó›ºÍ©Oè F(x) =    0, x ≤ 0, x, 0 < x < 1, 1, x ≥ 1. ⁄ f(x) = ( 1, 0 < x < 1, 0, Ÿß (X(1), X(2), · · · , X(n))èX1, X2, · · · , XngS⁄O˛, gS⁄O˛X(m) ó›ºÍ è fm(x) = m  n m  x m−1 (1 − x) m−n I[0,1](x). (2.3) dcå(X(i) , X(j))È‹ó›è fij (x) = ( n! (i−1)!(j−i−1)!(n−j)!x i−1 (y − x) j−i−1 (1 − x) n−j , 0 < x < y < 1, 0, Ÿß. (X(1), X(2), · · · , X(n))È‹ó›è f1,2,··· ,n(x(1), x(2), · · · , x(n)) = ( n!, 0 < x(1) < · · · < x(n) < 1, 0, Ÿß. -F(z) = z, 0 < z < 1, F(v + z) = v + z, 0 < v + z < 1,3˛!©ŸU(0, 1) | ‹(V, Z)È‹ó› gij (v, z) =    n! (i−1)!(j−i−1)!(n−j)! z i−1v j−i−1 [1 − (v + z)]n−j ,  0 < z < 1, 0 < v + z < 1, 0, Ÿß. dûV = X(j) − X(i)>ó›, œLO黩 R 1−v 0 gi,j (v, z)dz gnij (v) = ( n! (j−i−1)!(n−j+i)!v j−i−1 (1 − v) n−j+1 ,  0 < v < 1, 0, Ÿß. AO4 R = X(n) − X(1)ó›ºÍg1n(r)èÚc™•vܧr,Új⁄i©O^n⁄1ìO g1n(r) =    n(n − 1)r n−2 (1 − r),  0 < r < 1, 0, Ÿß. 7