2次序统计量 次序统计量：即若X1,X2,…,Xnii.d.~F,将其按大小排列为X()≤X(2≤…≤X(m: 则称(X,X2,·,Xm)为次序统计量，它的任一部分，如X,和(X,X6)）(1≤i<j≤ n)等也称为次序统计量. 次序统计量的分布 1.X(m的分布 P(X(m)≤x)=P(X≤x,,Xn≤x)=F"(x) 2.X)的分布 P(X()≤x)=1-P(X()>x)=1-P(X1>x,…,Xn>x)=1-(1-F(x)” 3.X(m的分布(1<m<n) fxm(r)dx≈P(r<X(m≤x+dz (m-1)(n-m)()f()dr-F(+dz) n! 因此两边同时除以dz,并令dx→0，得到 fx(m)()=m( Fm-1(E)f(r)[1-F(x)]n-m m 4.X(句，X)的联合密度 a-G--m-T(F()i-1(F()-F(z)p-i-1 f(x,)= ×(1-F()n-f(x)f(), 当x< 0, 其它. 5.(X(1)·,Xn)的联合密度为 nf(z）…f(zm,当xu<x(a)<…<m: gx(1),…,x(n)）= 其它 6.极差Xm-X的分布 作下列变换 V=XG)-X() X句=Z Z=X() → XG)=V+Z 变换的Jacobian行列式为J= 0=1,(KO,XG)的联合分布密度由前给出，故(，Z)的 avaz 联合密度为 -G--m-T(F(2)》-1(F(u+z)-F(2)y-i-1 n! 9(U,2)= x(1-F(v+z))T-if(z)f(v+2), 当v>0, (2.1) 0 其它. 62 gS⁄O˛ gS⁄O˛: =eX1, X2, · · · , Xn i.i.d. ∼ F, ÚŸUå¸èX(1) ≤ X(2) ≤ · · · ≤ X(n) , K°(X(1), X(2), · · · , X(n))ègS⁄O˛, ß?ò‹©, XX(i) ,⁄(X(i) , X(j)) (1 ≤ i < j ≤ n)è°ègS⁄O˛. gS⁄O˛©Ÿ 1. X(n) ©Ÿ P(X(n) ≤ x) = P(X1 ≤ x, · · · , Xn ≤ x) = F n (x) 2. X(1) ©Ÿ P(X(1) ≤ x) = 1 − P(X(1) > x) = 1 − P(X1 > x, · · · , Xn > x) = 1 − (1 − F(x))n 3. X(m) ©Ÿ(1 < m < n) fX(m) (x)dx ≈ P(x < X(m) ≤ x + dx = n! (m − 1)!1!(n − m)!F m−1 (x)f(x)dx[1 − F(x + dx)]n−m œd¸>”ûÿ±dx, ø-dx → 0, fX(m) (x) = m  n m  F m−1 (x)f(x)[1 − F(x)]n−m . 4. X(i) , X(j) È‹ó› fij (x, y) =    n! (i−1)!(j−i−1)!(n−j)!(F(x))i−1 (F(y) − F(x))j−i−1 × (1 − F(y))n−jf(x)f(y), x < y, 0, Ÿß. 5. (X(1), · · · , X(n))È‹ó›è g(x(1), · · · , x(n)) =    n!f(x(1))· · · f(x(n)), x(1) < x(2) < · · · < x(n) , 0, Ÿß. 6. 4X(n) − X(1) ©Ÿ äeCÜ ( V = X(j) − X(i) Z = X(i) ⇐⇒ ( X(i) = Z X(j) = V + Z CÜJacobian 1™è:|J| =    ∂(X(i),X(j)) ∂V ∂Z    = 1, (X(i) , X(j))È‹©Ÿó›dcâ—,(V, Z) È‹ó›è gij (v, z) =    n! (i−1)!(j−i−1)!(n−j)!(F(z))i−1 (F(v + z) − F(z))j−i−1 × (1 − F(v + z))n−jf(z)f(v + z), v > 0, 0, Ÿß. (2.1) 6