释疑解难无穷级数 问题1试判断下列命题是否正确? (1)若lmun=0,则∑n必定收敛 (2)设∑n∑v是正项级数,n≤c,(n=L2,),c为大于零的常数,则∑un, ∑v同敛散 答:均不正确。 (1)limn=0是级数收敛的必要条件,不能判断∑un的收敛,但它的逆否命题成 ,可以用limn≠0来判断∑n的发散,即若limn≠0,则∑un发散。 (2)反例,考虑u.=1 问题2下列运算是否正确 若∑a∑b均收敛,且对一切自然数n有an≤cn≤b,证明:∑cn也收敛。 证明::a≤cn≤b(n=1,2,)且∑a∑b均收敛,由比较判别法知∑cn收敛 答:不正确 因为证明中使用了比较判别法,而比较判别法只适用于正项级数,题目中并未指出级数 是正项级数,正确方法如下 证明:由条件an≤cn≤b,(n=12…)可得b-an2cn-an≥0,故∑(b-an)与 ∑(cn-an)均为正项级数。∑a与∑b收敛,从而∑(b-an)收敛,由正项级数的比 较判别法,∑(n-an)也收敛,而cn=(n-an)+an,所以∑==∑[(n-an)+a]也 收敛 问题3设∑an∑b均为正项级数,满足≌m址1,(m=12,3…),且级数∑释疑解难 无穷级数 问题 1 试判断下列命题是否正确？ （1）若 lim 0 n n u → = ，则 1 n n u  =  必定收敛。 （2）设 1 n n u  =  ， 1 n n v  =  是正项级数， ( 1,2, ) n n u cv n  = ，c 为大于零的常数，则 1 n n u  =  ， 1 n n v  =  同敛散。 答：均不正确。 （1） lim 0 n n u → = 是级数收敛的必要条件，不能判断 1 n n u  =  的收敛，但它的逆否命题成 立，可以用 lim 0 n n u →  来判断 1 n n u  =  的发散，即若 lim 0 n n u →  ，则 1 n n u  =  发散。 （2）反例，考虑 2 1 1 , n n u v n n = = 。 问题 2 下列运算是否正确？ 若 1 1 , n n n n a b   = =   均收敛，且对一切自然数 n 有 nnn a c b   ，证明： 1 n n c  =  也收敛。 证明： ( 1,2, ) nnn a c b n   = 且 1 1 , n n n n a b   = =   均收敛，由比较判别法知 1 n n c  =  收敛。 答：不正确。 因为证明中使用了比较判别法，而比较判别法只适用于正项级数，题目中并未指出级数 是正项级数，正确方法如下： 证明：由条件 ( 1,2, ) nnn a c b n   = 可得 0 n n n n b a c a −  −  ，故 1 ( ) n n n b a  =  − 与 1 ( ) n n n c a  =  − 均为正项级数。 1 n n a  =  与 1 n n b  =  收敛，从而 1 ( ) n n n b a  =  − 收敛，由正项级数的比 较判别法， 1 ( ) n n n c a  =  − 也收敛，而 c c a a n n n n = − + ( ) ，所以 ( ) 1 1 n n n n n n c c a a   = = = − +      也 收敛。 问题 3 设 1 1 , n n n n a b   = =   均为正项级数，满足 n n 1 1 n n a b a b + +  ，( n =1,2,3, )，且级数 1 n n b  = 