命题1.4向量组a1,a2,…,a3线性相关的充分必要条件是 其中的一个向量可由其余的向量线性表示 证明必要性设a1,Q2,3线性相关,则有不全为零的 数a1,a2,,a使得 a1+a2Q2+…+a3Os=0 不妨设a1≠0则有an1= 2 即1可由a2,as线性表示 充分性不妨设a1可由Q2,,线性表示,即有一组数a2,as 使得a1=a202+…+a3a,从而 (1)a1+a2Q2+…+aas=0, 这表明a1,Q2,…,s线性相关 上页下 圆回1.4 1 2 , , , 命题 向量组α α … αs线性相关的充分必要条件是 其中的一个向量可由其余的向量线性表示. 1 2 , , , 设α α … αs线性相关,则有不全为零的 1 2 , , , 数 使 a a … as 得 2 1 1 2 1 1 0, s s a a a a a 不妨设 ≠ 则有α α = − −"− α 1 2, , . 即α 可由a a … s线性表示 充分性. 1 2 2 1 2 2 , , , , , s s s s a a a a α α α α α = + + α … … " 不妨设 可由 线性表示,即有一组数 使得 从而 a a 1 1 α α + + 2 2 " + as s α = 0 证明 必要性 1 2 2 ( 1) 0, − α α + + a a " + s s α = 1 2 , , , . 这表明α α … αs线性相关