Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMaa Phys FDU J, (x)cos (x>1) 24 x=0为J,(x)(v≠0)的v级零点 J(x)~ (v≠0) r(v+1) (B)J(x)的零点必正负成对:这是因为J(x)具有奇(偶)对称性,即 J(-x)=(-1)"J(x),因此可以只讨论正零点。 (C).阶数相差为1[J、(x)与J1(x)或J(x)]时,正零点必两两相间。 证明思路:设ab为J(x)的相邻零点,作辅助函数y=xJ,(x),根据微分中 值定理,当y(a)=y(b)=0时,必有a<c<b,使得y(c)=0.再由递推公式 (x"Z,)'=x"Z,可以知道,J(x)的零点之间有J,(x)的零点。 (D).J(x)的最小正零点必大于J(x)的最小正零点(v≠0,x=0除外)。 证明思路:已知x=0为J(x)的n+1级零点。设a为J(x)的最小正零点, 作辅助函数y=xJ-(x),由y(0)=y(a)=0,必有y(c)=0,而取c在0<c<a,再由 (x'Z,)'=xZ,可知,c必为J(x)的零点 注1:J(x)的零点的具体数值可以从专门的Bese函数表查到,故当需要Jn(x) 的零点时,可以当作已知 注2:记Jn(x)的正零点即Jn(x)=0的根为xm(n=1,2… 注3:Jn(x)=0,ie,导数为零的点m>0n=1,2,…),均为J(x)之一阶零点。 注4:因为J(x)=-J1(x),所以x=xm)(n=12…),即J(x)的极值点正是J(x) 的零点。 (6)Jn(x)的图像(衰减式震荡函数) MathematicsMethods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 8 2 J ( ) ~ cos ( 1). 2 4 x x x x             x  0 为 J ( ) x  （   0 ）的  级零点: 1 J ( ) ~ ( 0) ( 1) 2 x x              . (B). J ( ) x  的零点必正负成对：这是因为 J ( ) x  具有奇（偶）对称性，即 J ( ) ( 1) J ( ) x x       ，因此可以只讨论正零点。 (C). 阶数相差为 1 [ J ( ) x  与 1 J ( ) x   或 1 J ( ) x   ]时，正零点必两两相间。 证明思路：设 a b, 为 J ( ) x  的相邻零点，作辅助函数 y x x J ( )    ，根据微分中 值定理, 当 y a y b ( ) ( ) 0   时, 必有 a c b   , 使得 y c ( ) 0.  再由递推公式 1 ( )' x Z x Z       可以知道， J ( ) x  的零点之间有 1 J ( ) x   的零点。 (D). 1 J ( ) x   的最小正零点必大于 J ( ) x  的最小正零点 ( 0, 0   x 除外）。 证明思路：已知 x  0 为 1 J ( ) x   的 n 1 级零点。设 a 为 1 J ( ) x   的最小正零点， 作辅助函数 1 1 y x x J ( ),      由 y y a (0) ( ) 0,   必有 y c'( ) 0,  而取 c 在 0 ,  c a 再由 1 ( )' x Z x Z       可知, c 必为 J ( ) x  的零点。 注 1：J ( ) m x 的零点的具体数值可以从专门的 Bessel 函数表查到，故当需要 J ( ) m x 的零点时，可以当作已知. 注 2：记 J ( ) m x 的正零点即 J ( ) 0 m x  的根为 ( ) ( 1,2, ). m n x n  注 3：J' ( ) 0 m x  ，i.e，导数为零的点 ( ) 0( 1,2, ) m n x n   ，均为 J' ( ) m x 之一阶零点。 注 4： 因为 0 1 J' ( ) J ( ), x x   所以 (0) (1) = ( 1,2, ), n n x x n  即 0 J ( ) x 的极值点正是 1 J ( ) x 的零点。 （6） J ( ) m x 的图像（衰减式震荡函数） Mathematics：