数理方程经典问题专题整理 非齐次问题的处理方法 方程和定解条件的齐次和非齐次是这门课程中的重要基本概念之一.我们之前有探 讨过，其实对于任意一个定解问题，我们可以给它很多个标签，从不同角度来描述这个 定解问题.比如，方程的类型、方程的阶、方程是否齐次、定解条件是否齐次、方程中 变量是否有界、方程中坐标变量整体所描述的区域是否有界，等等. 而一般情况下在学习一种求解方法或者处理一个特定问题时，我们往往只关注某 些标签.比如，我们在使用分离变量法时，往往关注的是方程中是否存在定义域是有界 的变量、方程是否齐次、定解条件是否齐次、是否是二阶方程（这个主要考虑到固有值 问题要满足施刘定理，但是对于不满足情形我们之前作业中也有遇到，在作业讲解和 复习指导中有详细解释如何处理这类问题.另外这门课程主要研究二阶线性方程问题， 所以往往都是二阶的固有值问题). 在这些概念中方程和定解条件的齐次和非齐次是非常重要的一组概念，这一专题 专门讨论如何理解这一概念以及对应地在处理定解问题中的应用. 首先，在这门课程中，有这些地方对于方程和定解条件的齐次提出了要求.分别是 ·行波法处理的一维无界区域波动方程的泛定方程要求是齐次的 ·齐次化原理在使用的时候（用于将非齐次发展方程转化为齐次方程）要求初始条 件是齐次的 ·分离变量法在处理有界区域问题时要求方程和边界条件是齐次的 在处理非齐次方程的时候，我们主要学习三种方法，分别是 ·固有函数展开法（只能用于配合分离变量法处理有界区域的问题） ·齐次化原理（只能用于处理非齐次发展方程，并且要求初始条件齐次） ·特解法（从原则上讲可以用于处理任何问题，但考虑到特解求解的难度，我们 般认为主要是用于求解非齐次项为独立变量线性组合形式的非齐次问题) 在处理非齐次定解条件的时候，我们主要学习的方法就是 ·特解法（和处理非齐次方程的时候方法是一致的） 在这一专题，我们详细地说明这几种方法的本质和使用注意事项. 2020 春数理方程 08 班 数理方程经典问题专题整理 非齐次问题的处理方法 方程和定解条件的齐次和非齐次是这门课程中的重要基本概念之一. 我们之前有探 讨过，其实对于任意一个定解问题，我们可以给它很多个标签，从不同角度来描述这个 定解问题. 比如，方程的类型、方程的阶、方程是否齐次、定解条件是否齐次、方程中 变量是否有界、方程中坐标变量整体所描述的区域是否有界，等等. 而一般情况下在学习一种求解方法或者处理一个特定问题时，我们往往只关注某 些标签. 比如，我们在使用分离变量法时，往往关注的是方程中是否存在定义域是有界 的变量、方程是否齐次、定解条件是否齐次、是否是二阶方程 (这个主要考虑到固有值 问题要满足施刘定理，但是对于不满足情形我们之前作业中也有遇到，在作业讲解和 复习指导中有详细解释如何处理这类问题. 另外这门课程主要研究二阶线性方程问题， 所以往往都是二阶的固有值问题). 在这些概念中方程和定解条件的齐次和非齐次是非常重要的一组概念，这一专题 专门讨论如何理解这一概念以及对应地在处理定解问题中的应用. 首先，在这门课程中，有这些地方对于方程和定解条件的齐次提出了要求. 分别是 • 行波法处理的一维无界区域波动方程的泛定方程要求是齐次的 • 齐次化原理在使用的时候 (用于将非齐次发展方程转化为齐次方程) 要求初始条 件是齐次的 • 分离变量法在处理有界区域问题时要求方程和边界条件是齐次的 在处理非齐次方程的时候，我们主要学习三种方法，分别是 • 固有函数展开法 (只能用于配合分离变量法处理有界区域的问题) • 齐次化原理 (只能用于处理非齐次发展方程，并且要求初始条件齐次) • 特解法 (从原则上讲可以用于处理任何问题，但考虑到特解求解的难度，我们一 般认为主要是用于求解非齐次项为独立变量线性组合形式的非齐次问题) 在处理非齐次定解条件的时候，我们主要学习的方法就是 • 特解法 (和处理非齐次方程的时候方法是一致的) 在这一专题，我们详细地说明这几种方法的本质和使用注意事项. 1