固有函数展开法 ·本质：将非齐次项在固有函数系上展开，从而通过比较系数得到解在固有函数系 上展开的结果，进而归入齐次方程处理流程 ·适用范围：有界区域问题，需配合分离变量法使用，只能处理非齐次方程齐次边 界问题 ·使用方法：将非齐次项在求解得到的固有函数系上展开，以非齐次项形式并入其 他常微分方程的求解，求解其他常微分方程后得到解在固有函数系上展开的系数 例如T(),和固有函数系对应项相乘并线性叠加，进而得到形式解.之后的系数 求解和一般分高变量法中的求解过程是一致的 齐次化原理 ·本质：基于时间变量分片使用微元法，建立原始定解问题和时间微元内的定解问 题的对应关系，即通过转化为时间微元内的定解问题并求解，最后通过叠加方法 (积分)转化为定解问题的解 ·适用范围：非齐次发展方程，齐次初始条件（如果是非齐次初始条件，只要满足 发展方程，也可以考虑使用叠加原理处理) ·使用方法：根据定解问题写出时间分片内的定解问题，求解得到的解代入积分公 式得到定解问题的解。在这里要注意，时间变量偏移问题 特解法 ·本质：基于叠加原理，将定解问题分解为多个（一般是两个）定解问题分别求解 当我们发现用已知方法无法直接求解非齐次问题时，我们的一个直观想法就是将 其转化为齐次问题，进而可以直接求解.所以，我们转化的目标就是齐次定解问 题.所以现在，问题变成，如何将非齐次问题转化为齐次问题.一个直观的想法是， 应用叠加原理，将非齐次问题写成一个齐次问题和一个非齐次问题的叠加.这里 齐次问题可以直接求解，非齐次问题对应的就是特解满足的定解问题 ·适用范围：任何线性定解问题.但这只是从理论上说，因为任何线性问题都满足 叠加原理，从而都可以使用特解法.但是考虑到特解的求解难易程度，也就是转 化后的两个问题中，非齐次问题的求解难易程度，所以我们得到的结论是，一般 情况下，我们使用特解法主要是求解非齐次项是独立变量的线性组合形式的问题. 这个结论的出发点在于，如果我们处理的非齐次项含有多个变量且不是独立变量 线性组合情形，那么，解一定是含有多个变量的，所以非齐次问题仍然不能退化 为常微分方程问题.而我们最初使用特解法就是为了用一个特解，将我们不会求 22020 春数理方程 08 班 固有函数展开法 • 本质：将非齐次项在固有函数系上展开，从而通过比较系数得到解在固有函数系 上展开的结果，进而归入齐次方程处理流程 • 适用范围：有界区域问题，需配合分离变量法使用，只能处理非齐次方程齐次边 界问题 • 使用方法：将非齐次项在求解得到的固有函数系上展开，以非齐次项形式并入其 他常微分方程的求解，求解其他常微分方程后得到解在固有函数系上展开的系数， 例如 Tn(t)，和固有函数系对应项相乘并线性叠加，进而得到形式解. 之后的系数 求解和一般分离变量法中的求解过程是一致的 齐次化原理 • 本质：基于时间变量分片使用微元法，建立原始定解问题和时间微元内的定解问 题的对应关系，即通过转化为时间微元内的定解问题并求解，最后通过叠加方法 (积分) 转化为定解问题的解 • 适用范围：非齐次发展方程，齐次初始条件 (如果是非齐次初始条件，只要满足 发展方程，也可以考虑使用叠加原理处理) • 使用方法：根据定解问题写出时间分片内的定解问题，求解得到的解代入积分公 式得到定解问题的解. 在这里要注意，时间变量偏移问题 特解法 • 本质：基于叠加原理，将定解问题分解为多个 (一般是两个) 定解问题分别求解. 当我们发现用已知方法无法直接求解非齐次问题时，我们的一个直观想法就是将 其转化为齐次问题，进而可以直接求解. 所以，我们转化的目标就是齐次定解问 题. 所以现在，问题变成，如何将非齐次问题转化为齐次问题. 一个直观的想法是， 应用叠加原理，将非齐次问题写成一个齐次问题和一个非齐次问题的叠加. 这里， 齐次问题可以直接求解，非齐次问题对应的就是特解满足的定解问题 • 适用范围：任何线性定解问题. 但这只是从理论上说，因为任何线性问题都满足 叠加原理，从而都可以使用特解法. 但是考虑到特解的求解难易程度，也就是转 化后的两个问题中，非齐次问题的求解难易程度，所以我们得到的结论是，一般 情况下，我们使用特解法主要是求解非齐次项是独立变量的线性组合形式的问题. 这个结论的出发点在于，如果我们处理的非齐次项含有多个变量且不是独立变量 线性组合情形，那么，解一定是含有多个变量的，所以非齐次问题仍然不能退化 为常微分方程问题. 而我们最初使用特解法就是为了用一个特解，将我们不会求 2