第九章平面问题的复变函数解法 在平面问题的直角坐标和极坐标解法中我们求解了矩形、三角形、圆形、环形和楔形体 平面问题，那么对更一般的问题应如何求解呢？本章将要介绍的复变函数解法就是一种可以 处理更一般问题的解法，而且不同于半逆解法，它是一种推理型的解法，不需要事先对解的 形式做任何假设。在断裂力学、接触问题、孔口应力集中问题中都有应用，在国外的教科书 中一般称为Kolosov-.Muskhelishvilli方法，评价为One of the most elegant methods in the Theory of Elasticity。 9.1基本概念 z=x+iy,=x-iy 复变量： 1 1 x=2+y= (z-) 2i f(=,)=p(x,y)+ig(x,y) 复函数： f_jxfy-1寸+1-1迎+四-1迎_4 d ox dz dy dz 2 dx 2i dy 2 ax dy'2 dy dx y=2-9)+迎+四， 2axdy2yx 当P,q满足Cauchy-Riemann条件(C-R条件) -92--4 Ox dydy dx 时，则 =0。如果复函 证 数∫在某点满足CR条件，则称∫在该点解析，如果在某个区域内每一点都解析，称为在 此区域内的解析函数。通俗地讲，如果复函数∫与变量三无关即是解析函数。单值解析函 数称为全纯函数，有些函数如ln二，z2就不是单值函数。 解析函数的一些性质： -r. f旦=fa, f@=-0。 0证 9.2位移和应力的复数表示 ()Airy应力函数的复数表示 无体力时，Aiy应力函数U是双调和函数，满足7VU=0,如果令P=7U,则P 是调和函数。引进函数Q使P,Q满足Cauchy-Riemann条件(Q称为P的共轭调和函数)，由 复变函数理论可知，函数F(z)=P(x,y)+Q(x,y)为解析函数。 又令p(e)=∫Fe)止=px)+g(x,)，显然p()也是解析函数，且1 第九章 平面问题的复变函数解法 在平面问题的直角坐标和极坐标解法中我们求解了矩形、三角形、圆形、环形和楔形体 平面问题，那么对更一般的问题应如何求解呢？本章将要介绍的复变函数解法就是一种可以 处理更一般问题的解法，而且不同于半逆解法，它是一种推理型的解法，不需要事先对解的 形式做任何假设。在断裂力学、接触问题、孔口应力集中问题中都有应用，在国外的教科书 中一般称为 Kolosov-Muskhelishvilli 方法，评价为 One of the most elegant methods in the Theory of Elasticity。 9.1 基本概念 复变量： , 1 1 ( ), ( ) 2 2 z x iy z x iy x zz y zz i =+ =− =+ = − 复函数： (, ) (, ) (, ) 111 ( )( ) 22 2 2 1 ( )( ) 2 2 f z z p x y iq x y f fx fy f f p q i p q z xz yz x iy x y y x f p q ip q z xy yx = + ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + = +− − ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ = −+ + ∂ ∂∂ ∂∂ 当 p,q 满足 Cauchy-Riemann 条件(C-R 条件) , p qp q x yy x ∂ ∂∂ ∂ = = − ∂ ∂∂ ∂ 时，则 0 f z ∂ = ∂ 。如果复函 数 f 在某点满足 C-R 条件，则称 f 在该点解析，如果在某个区域内每一点都解析，称为在 此区域内的解析函数。通俗地讲，如果复函数 f 与变量 z 无关即是解析函数。单值解析函 数称为全纯函数，有些函数如 1 2 ln , z z 就不是单值函数。 解析函数的一些性质： () () ( ), ( ), 0 f fz fz fz fz zz z ∂∂ ∂ === ′ ′ ∂∂ ∂ 。 9.2 位移和应力的复数表示 (1)Airy 应力函数的复数表示 无体力时，Airy 应力函数U 是双调和函数，满足 2 2 ∇ ∇ = U 0，如果令 2 P U = ∇ ，则 P 是调和函数。引进函数Q 使 P Q, 满足 Cauchy-Riemann 条件(Q 称为 P 的共轭调和函数)，由 复变函数理论可知，函数 F z P x y iQ x y () (, ) (, ) = + 为解析函数。 又 令 1 () () (, ) (, ) 4 ϕ z F z dz p x y iq x y = =+ ∫ ，显然 ϕ( )z 也是解析函数，且