pe)=Fe)=2+i9,p=9-P2-9=-g OxOxOx oy4’⑦yar4 再引进一个实函数P,=U-xp-q,容易验证P,是一个调和函数。因此，任意双调和函 数U可表示为U=p+9+P。构造一个新的解析函数(2)=P,+iq,其中g是p,的 共轭调和函数。容易看出，(x-y)(p+iq)+P,+iq,的实部就是U,所以Airy应力函数可 以表示成U=R[zp(z)+X(z)]或2U=zp(z)+X(z)+zp(z)+X(z)。 这样，我们就将任一双调和函数表示为复变函数形式，它通过两个解析函数？和X表示出 来，这就是著名的古萨(Goursat)公式，解析函数p和X称为复势。 (2)应力的复变函数表示 由古萨(Goursat)公式直接求导，得 200 =p+0+三0'+z0+X'+X 8x (9.1) 20=[o-0+0-0+X-] 20℃-20+20+50+Ξp+x+元 dr2 20 0=20+20-0-0-x-7 (9.2) 2℃=E0-9+X-71 2 axoy 则有 -OU-2Rel@]-RelEo"+x"] 0x 02 -2Relo]+Rc 8U 0,= (9.3) To Im[o"+z"] 上式可改写为如下常用形式 o:+o=4Relo'] (9.4) 0,-0x+2ity=2[z0"+X"] 或 ox+o,=4Re[Φ] (9.5) 0,-0.+2iπ=2[zΦ'+ 其中(z)=p',Ψ()=X(z)2 1 () () 4 p q z Fz i x x ϕ ∂ ∂ ′ = =+ ∂ ∂ ， , 4 4 p qP p q Q xy y x ∂∂ ∂ ∂ = = =− =− ∂∂ ∂ ∂ 。 再引进一个实函数 1 p =− − U xp yq ，容易验证 1 p 是一个调和函数。因此，任意双调和函 数U 可表示为U xp yq p =++ 1。构造一个新的解析函数 1 1 χ( )z p iq = + ，其中 1 q 是 1 p 的 共轭调和函数。容易看出， 1 1 ( )( ) x − + ++ iy p iq p iq 的实部就是U ，所以 Airy 应力函数可 以表示成U zz z = + Re[ ( ) ( )] ϕ χ 或 2 () () () () U zz z zz z = ++ + ϕχ ϕχ 。 这样，我们就将任一双调和函数表示为复变函数形式，它通过两个解析函数ϕ 和 χ 表示出 来，这就是著名的古萨(Goursat)公式，解析函数ϕ 和 χ 称为复势。 (2)应力的复变函数表示 由古萨(Goursat)公式直接求导，得 2 2 U z z x U i zz y ϕϕ ϕ ϕ χ χ ϕ ϕ ϕ ϕχχ ∂ =++ + + + ′ ′′′ ∂ ∂ = −+ − + − ⎡ ⎤ ′ ′′′ ⎣ ⎦ ∂ (9.1) 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2[ ] U z z x U z z y U iz z x y ϕ ϕ ϕ ϕχχ ϕ ϕ ϕ ϕχχ ϕ ϕχχ ∂ = + + + ++ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ∂ ∂ = + − − −− ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ∂ ∂ = − +− ′′ ′′ ′′ ′′ ∂ ∂ (9.2) 则有 2 2 2 2 2 Re[ ] Re[ ] 2 Re[ ] Re[ ] Im[ ] x y xy U z y U z x z σ ϕ ϕχ σ ϕ ϕχ τ ϕχ ∂ == − + ′ ′′ ′′ ∂ ∂ == + + ′ ′′ ′′ ∂ = +′′ ′′ (9.3) 上式可改写为如下常用形式 4 Re[ ] 2 2[ ] x y y x xy i z σ σ ϕ σ σ τ ϕχ + = ′ −+ = +′′ ′′ (9.4) 或 4 Re[ ] 2 2[ ] x y y x xy i z σ σ σσ τ + = Φ − + = Φ +Ψ ′ (9.5) 其中Φ=Ψ= () , () () z zz ϕ′ ′′ χ