证明(4)设A=(a)mxn,B=(b)nxp,则AB的第(,j)个元素为G; ∑n=1anby所以(AB)的第(,)个元素为G=∑n=1 airb,B'A'的第(j,)个 元素为B′的第j行元素与A的第讠列元素对应乘积之和.但B′的第j行元素 为B的第j列元素,A'的第i列元素为A的第讠行元素,它们对应元素乘积之 和恰为b1jan1+b2a2+…+ brain=cy·所以(AB)=BA.口 若A=A,即a=aj1≤i,≤n,则称方阵A为对称阵若A=-A,即 =-af,1≤i,j≤n,则称A为反对称阵 例1对任意n阶方阵A,(A+A)是对称阵;(A-A)是反对称阵 例2对角阵是对称阵;反对称阵的对角元素为0;零矩阵0既是对称阵,又是 反对称阵 六.矩阵的共轭 复数z=a+b的共轭复数记为z:=a-bi 设A=(a)mxn是复矩阵,则A=(1)mxm称为A的共轭矩阵 矩阵的共轭满足: (1)(A+B)=A+B; (3)AB=AB (4)(A)=(4) 七、标准单位向量与基础矩阵 0 0 称为n维标准列向量;t1,e2 0 0 称为n维标准行向量 性质(1)ee;=6;y,其中;是 Kronecker符号,b 0i≠j (2) Amine;是A的第讠列,e;Amxn是A的第讠行➐➑ (4) ❬ A = (aij )m×n, B = (bij )n×p , ➃ AB ✩❶ (i, j) ❑❯❱❭ cij = Pn r=1 airbrj . ➒ ✉ (AB) 0 ✩❶ (j, i) ❑❯❱❭ cij = Pn r=1 airbrj , B0A0 ✩❶ (j, i) ❑ ❯❱❭ B0 ✩❶ j P❯❱✾ A 0 ✩❶ i ◗❯❱✿❚✲❷❸✤✶➧ B0 ✩❶ j P❯❱ ❭ B ✩❶ j ◗❯❱✮ A0 ✩❶ i ◗❯❱❭ A ✩❶ i P❯❱✮◆❖✿❚❯❱✲❷❸ ✤➨❭ b1jai1 + b2jai2 + · · · + bnjain = cij . ➒ ✉ (AB) 0 = B0A0 . ➢ A0 = A, ❲ aij = aji, 1 ≤ i, j ≤ n, ➃ ❀❈★ A ❭ ➩➫● . ➢ A0 = −A, ❲ aij = −aji, 1 ≤ i, j ≤ n, ➃ ❀ A ❭ ➭➩➫● . ❪ 1 ✿❣❤ n ➞ ❈★ A, (A + A0 ) ♥ ✿❀★ ; (A − A0 ) ♥ ❁✿❀★✶ ❪ 2 ✿➯★ ♥ ✿❀★➲❁✿❀★✩✿➯❯❱❭ 0; ❡ ✧★ 0 ➳♥✿❀★✮➵ ♥ ❁✿❀★✶ ➸✶❋●✙➺➻ ➼✱ z = a + bi ✩➽➾➼✱ r ❭ z := a − bi. ❬ A = (aij )m×n ♥ ➼✧★✮ ➃ A = (aij )m×n ❀❭ A ✩➽➾✧★✶ ✧★✩➽➾✺✻❫ (1) (A + B) = A + B; (2) (cA) = cA; (3) AB = A B; (4) (A0 ) = (A) 0 . ➚✶➪➶➹➘➴➷➬➮➱❋● e1 =   1 0 . . . 0   , e2 =   0 1 . . . 0   , · · · , en =   0 0 . . . 1   ❀❭ n ✃ ❂❃◗❄❅➲e 0 1 , e0 2 , · · · , e0 n ❀❭ n ✃ ❂❃P❄❅✶ ❐❒ (1) e 0 i ej = δij , ⑤ ♠ δij ♥ Kronecker ❮❰✮ δij =  1 i = j 0 i 6= j . (2) Am×nei ♥ A ✩❶ i ◗✮ eiAm×n ♥ A ✩❶ i P✶ 5