第1期 汪培庄：因素空间理论一机制主义人工智能理论的数学基础 ·41· 夹角判别法P是s的一个内点当且仅当在 德国数学家R.Wille所提出的形式概念分析(nor- S中存在一点Q,使射线PQ与射线PO形成钝角，亦 mal concept analysis)。在他以前，数学家们认为， 即(Q-PO-P)<0。 任何概念的外延都是集合，而任何集合都是概念的 例1在图2中，S包含三点：a=(2,1)、b=(4,5)、 外延。Wille明确地对后一句话说不。他提出了内 c=(5,3),试问d=(2,4)是内点吗？e=(3,2)呢？ 涵和外延的对合性准则，认为只有满足对合性，才 解0=(a+b+c)/3=(3.7,3) 能把一个集合视为一个概念的外延。给定对象集 (o-d,a-d0=(1.7,-1)0,-3)=3>0 O和属性集A,从它们之中分别取出一组对象E和一 (o-d.b-d0=(1.7,-1)(2,1)=2.4>0 (0-d,c-d0=(1.7,-1)3,-1)=6.1>0 组属性I,记f(E)={a∈Avo∈E:o具有属性a,它是 都是非负，d不是S的内点。 E中对象共有属性所形成的集。记g()={o∈O (o-e,a-e)=(0.7,1)(-1,-1)=-1.7<0 yae上o具有属性a,它是I中属性共同依附的对象所 一旦出现负数就是内点，e是S的内点。 形成的集。如果f(E)=I且记g(0=E,则称配对 b=(4,5) a=(L,E)满足对合性，并称a是一个以I为内涵和以 E为外延的概念。 他以科教电影《生物与水》的资料制作了1张 形式背景表（见表1），其中有8类生物和9种属性： 5,3 a需要水，b在水中生活，c在陆地生活，d有叶绿素 e双子叶，f单子叶，g能运动，h有四肢，i哺乳。表 1以对象为行以属性为列，当且仅当第对象具有第 =(2,1) j属性在第行第j列的格子中出现符号“×”。为了检 图2背景基内点的夹角判别法 Fig.2 The angle criterion for inner points of background 验对合性，他让我们先随意选1个对象，蚂蟥，即取 base E=(1,它具有属性a,b和g,即f(E)={a,b,g}=I。然 这个判别法虽然是近似的，正有改进研究，但 后再从这3个属性所在的列，找他们共同依附的对 此方法却有应用价值。计算量很小，复杂度是 象有蚂蟥、鱼和蛙，即g(0={1,2,3}=E,因E≠E, O(k)(n是因素个数，k是样本点个数)，能适应大数 故E与1不满足对合性。继续往前，看这3个对象所 据的需求。 共有的属性是a、b和g,即f(E)={a,b,g}=I。于是， 1.4因素藤、因素神经网络与智联网 E与I满足对合性，这样我们便找到了一个对合配 因素空间是一个概念划分单元，不同单元联结 对，这就是水生动物的样本概念(anbng,{1,2,3)。 起来形成因素藤。刘增良提出了因素神经网络， 之所以称为样本概念是因为这概念是从表1生成 的，表1只是一个样本，所生成的概念是否有效，要 使因素空间理论和神经网络方法结合起来，把学习 机制引入因素空间。因素藤又与因素神经网络相对 看样本是否接近母体。像这样地搜索下去，最后找 到了19个概念，按序生成一个概念体系，他称之为 应，呈现新的活力。黄崇福提出了智联网，把因素 概念格（见图3）。 空间作为智联网的数学刻画工具，进一步上升到网 络数学，具有比笔者更加广阔的视野和更加宏伟的 表1科教电影“生物与水”的背景 Table 1 The background of science and education film 历史使命。 "biology and water" 因素空间是信息系统和形式背景理论的提升， 能为客体提供一个可以存放其形式信息和效用信息 序号 a b c D e fg h I 的坐标系统，把关系数据库中的数据变成可视的样 1 蚂蟥 本点，它们的母体所形成的背景分布，乃是因素空 2 鱼 间的形骸，塑造它的工具是背景基。 3 蛙 2形式概念的生成与基本概念半格的 4 杏 提取 5 水草 6 芦苇 1982是不平凡的一年，在这一年中同时出现了 7 豆 3个数学分支，公开宣称以知识和智能作为自己的 玉米 数学研究对象。在这3个分支中，首先要介绍的是P S S Q PQ PO (Q− P,O− P) < 0 夹角判别法[4] 是 的一个内点当且仅当在 中存在一点 ，使射线 与射线 形成钝角，亦 即 。 S a=(2,1)、b=(4,5) c=(5,3) d = (2,4) e = (3,2) 例 1 在图 2 中， 包含三点： 、 ，试问 是内点吗？ 呢？ 解 o = (a+b+c) /3 = (3.7, 3) (o−d,a−d) = (1.7,−1)(0,−3) = 3 > 0 (o−d,b−d) = (1.7,−1)(2,1) = 2.4 > 0 (o−d, c−d) = (1.7,−1)(3,−1) = 6.1 > 0 都是非负，d 不是 S 的内点。 (o−e,a−e) = (0.7,1)(−1,−1) = −1.7 < 0 一旦出现负数就是内点，e 是 S 的内点。 b=(4, 5) d c=(5, 3) a=(2, 1) e o 图 2 背景基内点的夹角判别法 Fig. 2 The angle criterion for inner points of background base O(nk) n k 这个判别法虽然是近似的，正有改进研究，但 此方法却有应用价值。计算量很小，复杂度是 ( 是因素个数， 是样本点个数)，能适应大数 据的需求。 1.4 因素藤、因素神经网络与智联网 因素空间是一个概念划分单元，不同单元联结 起来形成因素藤。刘增良[6]提出了因素神经网络， 使因素空间理论和神经网络方法结合起来，把学习 机制引入因素空间。因素藤又与因素神经网络相对 应，呈现新的活力。黄崇福[7]提出了智联网，把因素 空间作为智联网的数学刻画工具，进一步上升到网 络数学，具有比笔者更加广阔的视野和更加宏伟的 历史使命。 因素空间是信息系统和形式背景理论的提升， 能为客体提供一个可以存放其形式信息和效用信息 的坐标系统，把关系数据库中的数据变成可视的样 本点，它们的母体所形成的背景分布，乃是因素空 间的形骸，塑造它的工具是背景基。 2 形式概念的生成与基本概念半格的 提取 1982 是不平凡的一年，在这一年中同时出现了 3 个数学分支，公开宣称以知识和智能作为自己的 数学研究对象。在这 3 个分支中，首先要介绍的是 O A E I f (E) = { a ∈ A|∀o ∈ E;o具有属性a } E g(I) = {o ∈ O| ∀a ∈ I;o具有属性a } I f (E) = I g(I) = E a = (I,E) a I E 德国数学家 R. Wille 所提出的形式概念分析 (nor￾mal concept analysis)[8]。在他以前，数学家们认为， 任何概念的外延都是集合，而任何集合都是概念的 外延。Wille 明确地对后一句话说不。他提出了内 涵和外延的对合性准则，认为只有满足对合性，才 能把一个集合视为一个概念的外延。给定对象集 和属性集 ，从它们之中分别取出一组对象 和一 组属性 ，记 ,它是 中对象共有属性所形成的集。记 ，它是 中属性共同依附的对象所 形成的集。如果 且记 ，则称配对 满足对合性，并称 是一个以 为内涵和以 为外延的概念。 a b c d e f g h i i j i j E = {1} a b g f (E) = {a,b,g} = I g(I) = {1,2,3} = E ′ E ′ , E E I a b g f (E ′ ) = {a,b,g} = I E ′ I (a∧b∧g, {1,2,3}) 他以科教电影《生物与水》的资料制作了 1 张 形式背景表 (见表 1)，其中有 8 类生物和 9 种属性： 需要水， 在水中生活， 在陆地生活， 有叶绿素， 双子叶， 单子叶， 能运动， 有四肢， 哺乳。表 1 以对象为行以属性为列，当且仅当第 对象具有第 属性在第 行第 列的格子中出现符号“×”。为了检 验对合性，他让我们先随意选 1 个对象，蚂蟥，即取 ，它具有属性 ， 和 ，即 。然 后再从这 3 个属性所在的列，找他们共同依附的对 象有蚂蟥、鱼和蛙，即 ，因 ， 故 与 不满足对合性。继续往前，看这 3 个对象所 共有的属性是 、 和 ，即 。于是， 与 满足对合性，这样我们便找到了一个对合配 对，这就是水生动物的样本概念 。 之所以称为样本概念是因为这概念是从表 1 生成 的，表 1 只是一个样本，所生成的概念是否有效，要 看样本是否接近母体。像这样地搜索下去，最后找 到了 19 个概念，按序生成一个概念体系，他称之为 概念格 (见图 3)。 表 1 科教电影“生物与水”的背景 Table 1 The background of science and education film "biology and water" 序号 A a b c D e f g h I 1 蚂蟥 × × × 2 鱼 × × × × 3 蛙 × × × × × 4 狗 × × × × × 5 水草 × × × × 6 芦苇 × × × × × 7 豆 × × × × 8 玉米 × × × × 第 1 期 汪培庄：因素空间理论——机制主义人工智能理论的数学基础 ·41·