之外,还有 Bayes方法和最小二乘法等。 、矩佔计法:( K. Pearson提出) 基本思想: 矩估计法是一种古老的估计方法。大家知道,矩是描写随机变量的最简单的数字特征。 样本来自于总体,从前面可以看到样本矩在一定程度上也反映了总体矩的特征,且在样本容 量n增大的条件下,样本的k阶原点矩A=∑X以概率收敛到总体X的k阶原点矩 m2=E(X),即A-→m4(m→∞)k=1,2,…,因而自然想到用样本矩作为总体矩的估 2.具体做法: 假设O=(O1,O2,…O4)为总体X的待估参数(0∈Φ),(X1,X2…,X)是来自X的一个样 本,令 即A=∑x=m=EX,1=12…k A=m 得一个包含k个未知数01,02…04的方程组,从中解出θ=(O1,O2,…4)的一组解 6=(61,B2…,6),然后用这个方程组的解O,2…,4分别作为,2….的估计量,这种估 计量称为矩估计量,矩估计量的观察值称为矩估计值。 该方法称为矩估计法。(只需掌握l=1,2的情形) 例3:设总体X的均值及方差a2都存在但均未知,且有a2>0,又设(X1,X2…,Xn)是 来自总体X的一个样本,试求μ,σ2的矩估计量 m2=E(X2)=DX)+E(X∥=0+2/A 解:因为{m=E(x=H A G=4一A所以得{a=1元(x)=x 注:上述结果表明:总体均值与方差的矩估计量的表达式不会因总体的分布不同而异;同时, 我们又注意到,总体均值是用样本均值来估计的,而总体方差(即总体的二阶中心矩)却不 是用样本方差来估计的,而是用样本二阶中心矩来估计。那么,能否用S2来估计a2呢?能 的话,S2与B,哪个更好?下节课将再作详细讨论。3 之外，还有 Bayes 方法和最小二乘法等。 一、矩估计法：（K.Pearson 提出） 1.基本思想： 矩估计法是一种古老的估计方法。大家知道，矩是描写随机变量的最简单的数字特征。 样本来自于总体，从前面可以看到样本矩在一定程度上也反映了总体矩的特征，且在样本容 量 n 增大的条件下，样本的 k 阶原点矩 1 1 n k k i i A X n = =  以概率收敛到总体 X 的 k 阶原点矩 ( ) k m E X k = ，即 ( ) 1,2, p A m n k k k ⎯⎯→ →  = ，因而自然想到用样本矩作为总体矩的估 计。 2.具体做法： 假设 ( , , , )  = 1  2   k 为总体 X 的待估参数（  ）， ( , , , ) X1 X2  Xn 是来自 X 的一个样 本，令 1 1 2 2 k k A m A m A m  =   =     = 即 l l n i l l Xi m EX n A =  = = =1 1 ，l = 1,2,  , k 得一个包含 k 个未知数 k 1 ,2 ,  , 的方程组，从中解出 ( , , , )  = 1  2   k 的一组解 ) ˆ , , ˆ , ˆ ( ˆ  = 1  2   k ，然后用这个方程组的解       k , , , 1 2  分别作为    k , , , 1 2  的估计量，这种估 计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值。 该方法称为矩估计法。（只需掌握 l =1,2 的情形） 例 3：设总体 X 的均值  及方差 2  都存在但均未知，且有 2  >0，又设 ( , , , ) X1 X2  Xn 是 来自总体 X 的一个样本，试求  ， 2  的矩估计量。 解：因为    = = + =  +  = =  2 2 2 2 2 1 m E( X ) D( X ) [ E( X )] m E( X ) 令    + = = 2 2 2 1 A A       = − =  2 2 1 2 1 A A A   所以得      = − = − =   = = n i i n i i X X n X X n X 1 2 1 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 ˆ ˆ   注：上述结果表明：总体均值与方差的矩估计量的表达式不会因总体的分布不同而异；同时， 我们又注意到，总体均值是用样本均值来估计的，而总体方差（即总体的二阶中心矩）却不 是用样本方差来估计的，而是用样本二阶中心矩来估计。那么，能否用 2 S 来估计 2  呢？能 的话， 2 S 与 B2 哪个更好？下节课将再作详细讨论