:因为a1,a2,…,a,线性相关,所以存在不全为0的k,k2…k,使 ka1+k2a2+…+k,a1=b,于是ka1+k2a2+…+ka+0an+…+0am=6 所以C 线性相关 证毕 推论:若向量组a1,a2,…,∝m线性无关,则它的任何一部分向量也线性无关 定理4若n维向量组a1,a2,…,am线性无关,则每一个向量上添加r个分量所得到的 n+r维向量组B1,B2,…,Bn也线性无关 设a1=( )(=1,2,…,m) B1=(a1,12 因为a1,a2…am线性无关,所以由定理1知 a,k,+a2rk2 齐次组 (5) k=0 k,+a,k k,+a,,k k=0 只有零解,因此添加r个方程的齐次组{a1nk1+a2nk2+…+ ak=0(6) k,+a2+, k =0 也只有零解,(因为(6)的解必为(5)的解,而(5)只有零解)故B13B2,…,Bn也线性无 注:定理4的逆不成立。如:B1=(12,0)与B2=(24,5)线性无关,但a1=(,2)与 a2=(24)都线性相关。 定理5若n维向量组a12a2…an线性无关,而向量组a1a2,…an,B线性相关, 则B一定能被a12a2,…am线性表示,并且表示式是唯一的 定理6若n维向量组B1,B2,…,Bmn,Bm+1每一个向量都能被n维向量a1,a2…,an 线性表示,则B1,B2,…,Bm,Bm+1必线性相关。证： 因为   r , , , 1 2  线性相关，所以存在不全为 0 的 r k ,k , ,k 1 2  ，使 k11 + k22 ++ krr = ，于是 k11 + k2 2 ++ kr r + 0 r+1 ++ 0 m =  所以    m , , , 1 2  线性相关。 证毕 推 论： 若向量组    m , , , 1 2  线性无关，则它的任何一部分向量也线性无关。 定理 4 若 n 维向量组    m , , , 1 2  线性无关，则每一个向量上添加 r 个分量所得到的 n+r 维向量组    m , , , 1 2  也线性无关。 证： 设 ( , , , ) i i1 i2  i n = (i = 1,2,.  ,m) ( , , , , , , )  i =  i1  i 2   in  i,n+1   i,n+r 因为    m , , , 1 2  线性无关，所以由定理 1 知， 齐次组      + + + = + + + = 0 0 1 1 2 2 11 1 21 2 1 n n mn m m m a k a k a k a k a k a k    （5） 只有零解，因此添加 r 个方程的齐次组          + + + = + + + = + + + = + + + = + + + + + + 0 0 0 0 1, 1 2, 2 , 2 , 1 1 1 2, 1 1, 1 1 2 2 11 1 21 2 1 n r n r m n r m n n m n m n n mn m m m a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k      （6） 也只有零解，(因为（6）的解必为（5）的解，而（5）只有零解)故    m , , , 1 2  也线性无 关。 证毕 注： 定理 4 的逆不成立。如： (1,2,0) 1 = 与 (2,4,5) 2 = 线性无关，但 (1,2) 1 = 与 (2,4) 2 = 都线性相关。 定理 5 若 n 维向量组    m , , , 1 2  线性无关，而向量组    m , , , 1 2  , 线性相关， 则  一定能被    m , , , 1 2  线性表示，并且表示式是唯一的。 定理6 若n维向量组 1 2 1 , , , ,     m  m+ 每一个向量都能被n维向量    m , ,......, 1 2 线性表示，则 1 2 1 , , , ,     m  m+ 必线性相关